2021 AMC 12B Spring Problema 9

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 9 del 2021 AMC 12B Spring, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1520

¿Cuál es el valor de $\dfrac{\log_2 80}{\log_{40}2}-\dfrac{\log_2 160}{\log_{20}2}?$

What is the value of $\dfrac{\log_2 80}{\log_{40}2}-\dfrac{\log_2 160}{\log_{20}2}?$

$0$

$1$

$\dfrac{5}{4}$

$2$

$\log_2 5$

Solución:

Usando $\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40$ y $\dfrac{1}{\log_{20}2}=\log_2 20,$ la expresión se convierte en $(\log_2 80)(\log_2 40)$ $-(\log_2 160)(\log_2 20).$

Sea $t=\log_2 5.$ Entonces $\log_2 80=4+t,$ $\log_2 40=3+t,$ $\log_2 160=5+t,$ $\log_2 20=2+t.$

El valor es $(4+t)(3+t)$ $-(5+t)(2+t)$ $=(12+7t+t^2)$ $-(10+7t+t^2)$ $=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using $\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40$ and $\dfrac{1}{\log_{20}2}=\log_2 20,$ the expression becomes $(\log_2 80)(\log_2 40)$ $-(\log_2 160)(\log_2 20).$

Let $t=\log_2 5.$ Then $\log_2 80=4+t,$ $\log_2 40=3+t,$ $\log_2 160=5+t,$ $\log_2 20=2+t.$

The value is $(4+t)(3+t)$ $-(5+t)(2+t)$ $=(12+7t+t^2)$ $-(10+7t+t^2)$ $=2.$

Thus, the correct answer is D.

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El Problema 9 en otros años

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