Question

¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a $\begin{aligned} &(2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4) \\ &\quad {}\cdot (2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16}) \\ &\quad {}\cdot (2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})? \end{aligned}$

Which of the following is equivalent to $\begin{aligned} &(2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4) \\ &\quad {}\cdot (2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16}) \\ &\quad {}\cdot (2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})? \end{aligned}$

$3^{127} + 2^{127}$

$3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63} + 3 \cdot 2^{63}$

$3^{128} - 2^{128}$

$3^{128} + 2^{128}$

$5^{127}$

Respuesta: C

Conceptos:diferencia de cuadrados telescópica

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Multiplica todo el producto por $3 - 2 = 1$ para iniciar una cascada telescópica.

Multiply the whole product by $3 - 2 = 1$ to start a telescoping cascade

Pista grande:

Aplica repetidamente $(3^k - 2^k)(3^k + 2^k) = 3^{2k} - 2^{2k}$ .

Repeatedly apply $(3^k - 2^k)(3^k + 2^k) = 3^{2k} - 2^{2k}$

Solución:

Como $3 - 2 = 1$ , multiplicar el producto por $3 - 2$ no lo cambia. Entonces $(3-2)(3+2) = 3^2 - 2^2,$ y multiplicar por el siguiente factor $(3^2 + 2^2)$ da $3^4 - 2^4$ , y así sucesivamente. Cada paso duplica el exponente.

Después de usar los siete factores, el producto se telescopa a $3^{128} - 2^{128}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $3 - 2 = 1,$ multiplying the product by $3 - 2$ does not change it. Then $(3-2)(3+2) = 3^2 - 2^2,$ and multiplying by the next factor $(3^2 + 2^2)$ gives $3^4 - 2^4,$ and so on. Each step doubles the exponent.

After using all seven factors, the product telescopes to $3^{128} - 2^{128}.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12A Spring Problema 9

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años