Question

Dos conos circulares rectos con los vértices hacia abajo, como se muestra en la figura de abajo, contienen la misma cantidad de líquido. Los radios de las superficies superiores del líquido son $3$ cm y $6$ cm. En cada cono se deja caer una canica esférica de radio $1$ cm, que se hunde hasta el fondo y queda completamente sumergida sin derramar líquido. ¿Cuál es la razón entre el ascenso del nivel del líquido en el cono estrecho y el ascenso del nivel del líquido en el cono ancho?

Two right circular cones with vertices facing down as shown in the figure below contain the same amount of liquid. The radii of the tops of the liquid surfaces are $3$ cm and $6$ cm. Into each cone is dropped a spherical marble of radius $1$ cm, which sinks to the bottom and is completely submerged without spilling any liquid. What is the ratio of the rise of the liquid level in the narrow cone to the rise of the liquid level in the wide cone?

$1 : 1$

$47 : 43$

$2 : 1$

$40 : 13$

$4 : 1$

Respuesta: E

Conceptos:cono semejanza escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

El líquido en cada cono es a su vez un cono; con volúmenes iniciales iguales, el cono estrecho (radio $3$ ) es cuatro veces más alto que el cono ancho (radio $6$ ).

The liquid in each cone is itself a cone; with equal starting volumes, the narrow cone (radius $3$ ) is four times as tall as the wide cone (radius $6$ )

Pista grande:

Añadir el mismo volumen de canica escala la altura por el mismo factor $\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}}$ en ambos conos, así que los ascensos están en la razón de las alturas originales.

Adding the same marble volume scales the height by the same factor $\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}}$ in both cones, so the rises are in the ratio of the original heights

Solución:

El líquido en cada cono forma un cono más pequeño semejante al recipiente. Sea el cono de líquido estrecho de radio $3$ y altura $h_1,$ y el ancho de radio $6$ y altura $h_2.$ Volúmenes iguales dan $\tfrac13\pi\cdot 9\cdot h_1 = \tfrac13\pi\cdot 36\cdot h_2,$ así que $h_1 = 4h_2.$

Dejar caer la canica aumenta el volumen en la misma cantidad $\Delta V = \tfrac43\pi$ en cada cono, y ambos comienzan con el mismo volumen $V.$ Como el volumen de un cono escala como el cubo de su altura, la nueva altura es $h\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}},$ así que cada ascenso es igual a $h\left(\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}} - 1\right).$ Este factor es idéntico para los dos conos, así que los ascensos están en la razón $h_1 : h_2 = 4 : 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The liquid in each cone forms a smaller cone similar to the container. Let the narrow liquid cone have radius $3$ and height $h_1,$ and the wide one radius $6$ and height $h_2.$ Equal volumes give $\tfrac13\pi\cdot 9\cdot h_1 = \tfrac13\pi\cdot 36\cdot h_2,$ so $h_1 = 4h_2.$

Dropping the marble raises the volume by the same amount $\Delta V = \tfrac43\pi$ in each cone, and both start with the same volume $V.$ Because a cone’s volume scales as the cube of its height, the new height is $h\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}},$ so each rise equals $h\left(\sqrt[3]{1 + \frac{\Delta V}{V}} - 1\right).$ This factor is identical for the two cones, so the rises are in the ratio $h_1 : h_2 = 4 : 1.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Spring Problema 10

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años