Question

En el cuadrilátero $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ y $BD$ es un entero. ¿Cuánto vale $BD$ ?

In quadrilateral $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ and $BD$ is an integer. What is $BD?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Aplica la desigualdad triangular a $\triangle BCD$ y $\triangle ABD$ .

Apply the triangle inequality to $\triangle BCD$ and $\triangle ABD$

Del $\triangle BCD,$ $BD \gt 12,$ y del $\triangle ABD,$ $BD \lt 14$ .

From $\triangle BCD,$ $BD \gt 12,$ and from $\triangle ABD,$ $BD \lt 14$

En $\triangle BCD,$ la desigualdad triangular da $BD + CD \gt BC,$ así que $BD + 5 \gt 17$ y $BD \gt 12.$

En $\triangle ABD,$ $AB + DA \gt BD,$ así que $BD \lt 5 + 9 = 14.$

El único entero con $12 \lt BD \lt 14$ es $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In $\triangle BCD,$ the triangle inequality gives $BD + CD \gt BC,$ so $BD + 5 \gt 17$ and $BD \gt 12.$

In $\triangle ABD,$ $AB + DA \gt BD,$ so $BD \lt 5 + 9 = 14.$

The only integer with $12 \lt BD \lt 14$ is $13.$

Thus, the correct answer is C.