Question

Sea $S$ el conjunto de los enteros positivos $n$ para los cuales $\dfrac{1}{n}$ tiene la representación decimal periódica $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots$ , con $a$ y $b$ dígitos distintos. ¿Cuál es la suma de los elementos de $S$ ?

Let $S$ be the set of positive integers $n$ for which $\dfrac{1}{n}$ has the repeating decimal representation $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots,$ with $a$ and $b$ different digits. What is the sum of the elements of $S?$

$11$

$44$

$110$

$143$

$155$

Solución:

Si $\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab}$ , entonces $\dfrac{99}{n} = \overline{ab}$ , un número de dos dígitos. Los divisores positivos de $99$ son $1, 3, 9, 11, 33, 99$ .

Solo $n = 11, 33, 99$ hacen que $\dfrac{99}{n}$ sea igual a $09, 03, 01$ , que tienen dos dígitos distintos. La suma pedida es $11 + 33 + 99 = 143$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab},$ then $\dfrac{99}{n} = \overline{ab},$ a two-digit number. The positive divisors of $99$ are $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

Only $n = 11, 33, 99$ make $\dfrac{99}{n}$ equal to $09, 03, 01,$ which have two different digits. The requested sum is $11 + 33 + 99 = 143.$

Thus, the correct answer is D.

2013 AMC 12A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años