Question

¿Cuántos pares ordenados de números reales $(x, y)$ satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones?

$x + 3y = 3$ $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$

How many ordered pairs of real numbers $(x, y)$ satisfy the following system of equations?

$x + 3y = 3$ $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

Solución:

La segunda ecuación da $|x| - |y| = \pm 1,$ equivalentemente $x = \pm y \pm 1.$ Sustituyendo en $x + 3y = 3:$

Si $x = y + 1,$ entonces $(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right).$ Si $x = y - 1,$ entonces $(x, y) = (0, 1).$ Si $x = -y + 1,$ entonces de nuevo $(x, y) = (0, 1).$ Si $x = -y - 1,$ entonces $(x, y) = (-3, 2).$

Las soluciones distintas son $(-3, 2),$ $(0, 1),$ y $\left(\tfrac32, \tfrac12\right),$ todas las cuales se verifican, así que hay $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The second equation gives $|x| - |y| = \pm 1,$ equivalently $x = \pm y \pm 1.$ Substituting into $x + 3y = 3:$

If $x = y + 1,$ then $(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right).$ If $x = y - 1,$ then $(x, y) = (0, 1).$ If $x = -y + 1,$ then again $(x, y) = (0, 1).$ If $x = -y - 1,$ then $(x, y) = (-3, 2).$

The distinct solutions are $(-3, 2),$ $(0, 1),$ and $\left(\tfrac32, \tfrac12\right),$ all of which check, so there are $3.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años