Question

En la figura mostrada abajo, el arco mayor $AD$ y el arco menor $BC$ tienen el mismo centro, $O.$ Además, $A$ está entre $O$ y $B,$ y $D$ está entre $O$ y $C.$ El arco mayor $AD,$ el arco menor $BC,$ y cada uno de los dos segmentos $AB$ y $CD$ tienen longitud $2\pi.$

¿Cuál es la distancia de $O$ a $A$ ?

In the figure shown below, major arc $AD$ and minor arc $BC$ have the same center, $O.$ Also, $A$ lies between $O$ and $B,$ and $D$ lies between $O$ and $C.$ Major arc $AD,$ minor arc $BC,$ and each of the two segments $AB$ and $CD$ have length $2\pi.$

What is the distance from $O$ to $A?$

$1$

$1 - \pi + \sqrt{1 + \pi^2}$

$\dfrac{1}{2}\pi$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{1 + \pi^2}$

$2$

Solución:

Sean $R_1 = OA = OD$ y $R_2 = OB = OC,$ y sea $\alpha = \angle AOD = \angle BOC$ (los rayos coinciden). El arco menor $BC$ tiene longitud $R_2\alpha = 2\pi,$ y el arco mayor $AD$ es el arco reflejo, así que $R_1(2\pi - \alpha) = 2\pi.$

Cada segmento $AB = CD = R_2 - R_1 = 2\pi.$

De las dos primeras ecuaciones, $R_2 = \dfrac{2\pi}{\alpha}$ y $R_1 = \dfrac{2\pi}{2\pi - \alpha}.$ Sustituyendo en $R_2 - R_1 = 2\pi$ y dividiendo entre $2\pi$ se obtiene $\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{2\pi - \alpha} = 1,$ que se simplifica a $\alpha^2 - 2(1+\pi)\alpha + 2\pi = 0.$

La raíz menor es $\alpha = (1+\pi) - \sqrt{1+\pi^2}.$ Entonces $\begin{aligned} R_1 &= \frac{2\pi}{2\pi - \alpha} \\ &= \frac{2\pi}{\pi - 1 + \sqrt{1+\pi^2}} \\ &= 1 - \pi + \sqrt{1+\pi^2}, \end{aligned}$ tras racionalizar (el denominador por $\sqrt{1+\pi^2} - (\pi-1)$ es igual a $2\pi$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $R_1 = OA = OD$ and $R_2 = OB = OC,$ and let $\alpha = \angle AOD = \angle BOC$ (the rays coincide). The minor arc $BC$ has length $R_2\alpha = 2\pi,$ and the major arc $AD$ is the reflex arc, so $R_1(2\pi - \alpha) = 2\pi.$

Each segment $AB = CD = R_2 - R_1 = 2\pi.$

From the first two equations, $R_2 = \dfrac{2\pi}{\alpha}$ and $R_1 = \dfrac{2\pi}{2\pi - \alpha}.$ Substituting into $R_2 - R_1 = 2\pi$ and dividing by $2\pi$ gives $\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{2\pi - \alpha} = 1,$ which simplifies to $\alpha^2 - 2(1+\pi)\alpha + 2\pi = 0.$

The smaller root is $\alpha = (1+\pi) - \sqrt{1+\pi^2}.$ Then $\begin{aligned} R_1 &= \frac{2\pi}{2\pi - \alpha} \\ &= \frac{2\pi}{\pi - 1 + \sqrt{1+\pi^2}} \\ &= 1 - \pi + \sqrt{1+\pi^2}, \end{aligned}$ after rationalizing (the denominator times $\sqrt{1+\pi^2} - (\pi-1)$ equals $2\pi$ ).

Thus, the correct answer is B.

2025 AMC 12A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años