Question

La representación en base nueve del número $N$ es $27{,}006{,}000{,}052_{\text{nine}}.$ ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $5$ ?

The base-nine representation of the number $N$ is $27{,}006{,}000{,}052_{\text{nine}}.$ What is the remainder when $N$ is divided by $5?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Como $9 \equiv -1 \pmod 5,$ cada potencia $9^k \equiv (-1)^k,$ así que $N$ es congruente con la suma alternada de sus dígitos en base nueve.

Los dígitos no nulos, con sus posiciones desde la derecha, son $2$ (posición $0$ ), $5$ (posición $1$ ), $6$ (posición $6$ ), $7$ (posición $9$ ), y $2$ (posición $10$ ). La suma alternada es $2 - 5 + 6 - 7 + 2 = -2$ $\equiv 3 \pmod 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $9 \equiv -1 \pmod 5,$ each power $9^k \equiv (-1)^k,$ so $N$ is congruent to the alternating sum of its base-nine digits.

The nonzero digits, with their positions from the right, are $2$ (position $0$ ), $5$ (position $1$ ), $6$ (position $6$ ), $7$ (position $9$ ), and $2$ (position $10$ ). The alternating sum is $2 - 5 + 6 - 7 + 2 = -2$ $\equiv 3 \pmod 5.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años