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2004 AMC 12B Problema 10

Intenta el Problema 10 del 2004 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2004 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Una corona circular es la región entre dos círculos concéntricos. Los círculos concéntricos de la figura tienen radios bb y c,c, con b>c.b \gt c. Sea OX‾\overline{OX} un radio del círculo mayor, sea XZ‾\overline{XZ} tangente al círculo menor en Z,Z, y sea OY‾\overline{OY} el radio del círculo mayor que contiene a Z.Z. Sean a=XZ,a = XZ, d=YZ,d = YZ, y e=XY.e = XY. ¿Cuál es el área de la corona circular?

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii bb and c,c, with b>c.b \gt c. Let OX‾\overline{OX} be a radius of the larger circle, let XZ‾\overline{XZ} be tangent to the smaller circle at Z,Z, and let OY‾\overline{OY} be the radius of the larger circle that contains Z.Z. Let a=XZ,a = XZ, d=YZ,d = YZ, and e=XY.e = XY. What is the area of the annulus?

πa2\pi a^2

πb2\pi b^2

πc2\pi c^2

πd2\pi d^2

πe2\pi e^2

Respuesta: A
Conceptos:corona circularrecta tangenteTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1460
Pista pequeña:

El área de la corona circular es πb2−πc2\pi b^2 - \pi c^2.

The annulus area is πb2−πc2\pi b^2 - \pi c^2

Pista grande:

Como XZ‾\overline{XZ} es tangente, △OZX\triangle OZX es rectángulo en Z,Z, así que b2−c2=a2b^2 - c^2 = a^2.

Since XZ‾\overline{XZ} is tangent, △OZX\triangle OZX is right-angled at Z,Z, so b2−c2=a2b^2 - c^2 = a^2

Solución:

El área de la corona circular es πb2−πc2.\pi b^2 - \pi c^2. Como XZ‾\overline{XZ} es tangente al círculo menor en Z,Z, es perpendicular al radio OZ‾,\overline{OZ}, así que △OZX\triangle OZX es rectángulo en Z.Z. Entonces b2=c2+a2,b^2 = c^2 + a^2, lo que da b2−c2=a2.b^2 - c^2 = a^2. El área es πa2.\pi a^2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The annulus area is πb2−πc2.\pi b^2 - \pi c^2. Because XZ‾\overline{XZ} is tangent to the smaller circle at Z,Z, it is perpendicular to radius OZ‾,\overline{OZ}, so △OZX\triangle OZX is right-angled at Z.Z. Then b2=c2+a2,b^2 = c^2 + a^2, giving b2−c2=a2.b^2 - c^2 = a^2. The area is πa2.\pi a^2.

Thus, the correct answer is A.

Problema 9#9
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