Question

Una corona circular es la región entre dos círculos concéntricos. Los círculos concéntricos de la figura tienen radios $b$ y $c,$ con $b \gt c.$ Sea $\overline{OX}$ un radio del círculo mayor, sea $\overline{XZ}$ tangente al círculo menor en $Z,$ y sea $\overline{OY}$ el radio del círculo mayor que contiene a $Z.$ Sean $a = XZ,$ $d = YZ,$ y $e = XY.$ ¿Cuál es el área de la corona circular?

An annulus is the region between two concentric circles. The concentric circles in the figure have radii $b$ and $c,$ with $b \gt c.$ Let $\overline{OX}$ be a radius of the larger circle, let $\overline{XZ}$ be tangent to the smaller circle at $Z,$ and let $\overline{OY}$ be the radius of the larger circle that contains $Z.$ Let $a = XZ,$ $d = YZ,$ and $e = XY.$ What is the area of the annulus?

$\pi a^2$

$\pi b^2$

$\pi c^2$

$\pi d^2$

$\pi e^2$

Solución:

El área de la corona circular es $\pi b^2 - \pi c^2.$ Como $\overline{XZ}$ es tangente al círculo menor en $Z,$ es perpendicular al radio $\overline{OZ},$ así que $\triangle OZX$ es rectángulo en $Z.$ Entonces $b^2 = c^2 + a^2,$ lo que da $b^2 - c^2 = a^2.$ El área es $\pi a^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The annulus area is $\pi b^2 - \pi c^2.$ Because $\overline{XZ}$ is tangent to the smaller circle at $Z,$ it is perpendicular to radius $\overline{OZ},$ so $\triangle OZX$ is right-angled at $Z.$ Then $b^2 = c^2 + a^2,$ giving $b^2 - c^2 = a^2.$ The area is $\pi a^2.$

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 12B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años