Question

Existe un único entero positivo $n$ tal que $\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).$

¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

There is a unique positive integer $n$ such that $\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).$

What is the sum of the digits of $n?$

$4$

$7$

$8$

$11$

$13$

Solución:

Como $\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,$ sea $y = \log_4 n.$ La ecuación se convierte en $\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \log_4 y = \tfrac12 \log_2 y.$

Multiplicando por $2$ se obtiene $\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = \log_2 y,$ así que $\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = y,$ lo que da $y = 4.$

Entonces $\log_4 n = 4,$ así que $n = 4^4 = 256,$ y la suma de los dígitos es $2 + 5 + 6 = 13.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Since $\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,$ set $y = \log_4 n.$ The equation becomes $\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \log_4 y = \tfrac12 \log_2 y.$

Multiplying by $2$ gives $\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = \log_2 y,$ so $\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = y,$ which yields $y = 4.$

Then $\log_4 n = 4,$ so $n = 4^4 = 256,$ and the digit sum is $2 + 5 + 6 = 13.$

Thus, E is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años