Question

Un triángulo tiene área $30,$ un lado de longitud $10,$ y la mediana a ese lado de longitud $9.$ Sea $\theta$ el ángulo agudo formado por ese lado y la mediana. ¿Cuánto vale $\sin\theta$ ?

A triangle has area $30,$ one side of length $10,$ and the median to that side of length $9.$ Let $\theta$ be the acute angle formed by that side and the median. What is $\sin\theta?$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{9}{20}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{9}{10}$

Solución:

La mediana divide el triángulo en dos triángulos de igual área $15.$ Uno de ellos tiene los dos lados de longitud $5$ (la mitad de la base) y $9$ (la mediana) que se encuentran en el ángulo $\theta$ .

Su área es $\tfrac12 \cdot 5 \cdot 9 \sin\theta = 15,$ así que $\sin\theta = \dfrac{2 \cdot 15}{5 \cdot 9} = \dfrac{2}{3}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The median divides the triangle into two triangles of equal area $15.$ One of them has the two sides of length $5$ (half the base) and $9$ (the median) meeting at angle $\theta.$

Its area is $\tfrac12 \cdot 5 \cdot 9 \sin\theta = 15,$ so $\sin\theta = \dfrac{2 \cdot 15}{5 \cdot 9} = \dfrac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

2012 AMC 12A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años