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2012 AMC 12A Problema 10

Intenta el Problema 10 del 2012 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Un triángulo tiene área 30,30, un lado de longitud 10,10, y la mediana a ese lado de longitud 9.9. Sea θ\theta el ángulo agudo formado por ese lado y la mediana. ¿Cuánto vale sin⁡θ\sin\theta?

A triangle has area 30,30, one side of length 10,10, and the median to that side of length 9.9. Let θ\theta be the acute angle formed by that side and the median. What is sin⁡θ?\sin\theta?

310\dfrac{3}{10}

13\dfrac{1}{3}

920\dfrac{9}{20}

23\dfrac{2}{3}

910\dfrac{9}{10}

Respuesta: D
Conceptos:área del triángulomediana (geometría)trigonometría
Nivel de dificultad: 1610
Pista pequeña:

Una mediana divide un triángulo en dos partes de igual área

A median splits a triangle into two pieces of equal area

Pista grande:

Uno de los medios triángulos tiene lados 55 y 99 con ángulo comprendido θ\theta y área 1515

One half-triangle has sides 55 and 99 with included angle θ\theta and area 1515

Solución:

La mediana divide el triángulo en dos triángulos de igual área 15.15. Uno de ellos tiene los dos lados de longitud 55 (la mitad de la base) y 99 (la mediana) que se encuentran en el ángulo θ.\theta.

Su área es 12⋅5⋅9sin⁡θ=15,\tfrac12 \cdot 5 \cdot 9 \sin\theta = 15, así que sin⁡θ=2⋅155⋅9=23.\sin\theta = \dfrac{2 \cdot 15}{5 \cdot 9} = \dfrac{2}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The median divides the triangle into two triangles of equal area 15.15. One of them has the two sides of length 55 (half the base) and 99 (the median) meeting at angle θ.\theta.

Its area is 12⋅5⋅9sin⁡θ=15,\tfrac12 \cdot 5 \cdot 9 \sin\theta = 15, so sin⁡θ=2⋅155⋅9=23.\sin\theta = \dfrac{2 \cdot 15}{5 \cdot 9} = \dfrac{2}{3}.

Thus, the correct answer is D.

Problema 9#9
Examen completo
Problema 11#11

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