2012 AMC 12A — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Un insecto se arrastra a lo largo de una recta numérica, comenzando en $-2.$ Se arrastra hasta $-6,$ luego da la vuelta y se arrastra hasta $5.$ ¿Cuántas unidades se arrastra el insecto en total?

A bug crawls along a number line, starting at $-2.$ It crawls to $-6,$ then turns around and crawls to $5.$ How many units does the bug crawl altogether?

$9$

$11$

$13$

$14$

$15$

Respuesta: E

Conceptos:valor absoluto

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Suma las dos distancias de arrastre por separado, en lugar del desplazamiento neto

Add the two separate crawl distances rather than the net displacement

Pista grande:

El primer tramo es $|-6-(-2)|$ y el segundo es $|5-(-6)|$

The first leg is $|-6-(-2)|$ and the second is $|5-(-6)|$

Solución:

El insecto se arrastra $|-6-(-2)| = 4$ unidades en el primer tramo y $|5-(-6)| = 11$ unidades en el segundo tramo.

La distancia total es $4 + 11 = 15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The bug crawls $|-6-(-2)| = 4$ units on the first leg and $|5-(-6)| = 11$ units on the second leg.

The total distance is $4 + 11 = 15.$

Thus, the correct answer is E.

2.

Cagney puede glasear un cupcake cada $20$ segundos y Lacey puede glasear un cupcake cada $30$ segundos. Trabajando juntas, ¿cuántos cupcakes pueden glasear en $5$ minutos?

Cagney can frost a cupcake every $20$ seconds and Lacey can frost a cupcake every $30$ seconds. Working together, how many cupcakes can they frost in $5$ minutes?

$10$

$15$

$20$

$25$

$30$

Respuesta: D

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

Convierte $5$ minutos a segundos, o cuenta los cupcakes por minuto de cada persona

Convert $5$ minutes to seconds, or count each person’s cupcakes per minute

Pista grande:

En $5$ minutos Cagney glasea $\dfrac{300}{20}$ y Lacey glasea $\dfrac{300}{30}$

In $5$ minutes Cagney frosts $\dfrac{300}{20}$ and Lacey frosts $\dfrac{300}{30}$

Solución:

En $5$ minutos hay $300$ segundos. Cagney glasea $\dfrac{300}{20} = 15$ cupcakes y Lacey glasea $\dfrac{300}{30} = 10$ cupcakes.

Juntas glasean $15 + 10 = 25$ cupcakes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In $5$ minutes there are $300$ seconds. Cagney frosts $\dfrac{300}{20} = 15$ cupcakes and Lacey frosts $\dfrac{300}{30} = 10$ cupcakes.

Together they frost $15 + 10 = 25$ cupcakes.

Thus, the correct answer is D.

3.

Una caja de $2$ centímetros de alto, $3$ centímetros de ancho y $5$ centímetros de largo puede contener $40$ gramos de arcilla. Una segunda caja con el doble de altura, el triple de ancho y el mismo largo que la primera puede contener $n$ gramos de arcilla. ¿Cuánto vale $n$ ?

A box $2$ centimeters high, $3$ centimeters wide, and $5$ centimeters long can hold $40$ grams of clay. A second box with twice the height, three times the width, and the same length as the first box can hold $n$ grams of clay. What is $n?$

$120$

$160$

$200$

$240$

$280$

Respuesta: D

Conceptos:volumen razón y proporción

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

La capacidad es proporcional al volumen

The capacity is proportional to the volume

Pista grande:

El volumen se multiplica por $2 \times 3 \times 1$

The volume is multiplied by $2 \times 3 \times 1$

Solución:

La segunda caja tiene $2 \times 3 \times 1 = 6$ veces el volumen de la primera, así que contiene $6$ veces más arcilla.

Por lo tanto $n = 6 \cdot 40 = 240.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The second box has $2 \times 3 \times 1 = 6$ times the volume of the first, so it holds $6$ times as much clay.

Therefore $n = 6 \cdot 40 = 240.$

Thus, the correct answer is D.

4.

En una bolsa de canicas, $\dfrac{3}{5}$ de las canicas son azules y el resto son rojas. Si el número de canicas rojas se duplica y el número de canicas azules permanece igual, ¿qué fracción de las canicas serán rojas?

In a bag of marbles, $\dfrac{3}{5}$ of the marbles are blue and the rest are red. If the number of red marbles is doubled and the number of blue marbles stays the same, what fraction of the marbles will be red?

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{4}{7}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

Respuesta: C

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 970

Pista pequeña:

Comienza con un total conveniente, como $5$ canicas

Start with a convenient total, such as $5$ marbles

Pista grande:

Las azules y rojas empiezan en $3$ y $2$ ; al duplicar las rojas quedan $3$ azules y $4$ rojas

Blue and red begin at $3$ and $2$ ; doubling the red gives $3$ blue and $4$ red

Solución:

Supongamos que hay $5$ canicas: $3$ azules y $2$ rojas. Al duplicar las rojas quedan $4$ rojas, mientras que las azules siguen en $3.$

El total ahora es $3 + 4 = 7,$ así que la fracción que es roja es $\dfrac{4}{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Suppose there are $5$ marbles: $3$ blue and $2$ red. Doubling the red gives $4$ red while the blue stays at $3.$

The total is now $3 + 4 = 7,$ so the fraction that is red is $\dfrac{4}{7}.$

Thus, the correct answer is C.

5.

Una ensalada de frutas está compuesta por arándanos, frambuesas, uvas y cerezas. La ensalada de frutas tiene un total de $280$ piezas de fruta. Hay el doble de frambuesas que de arándanos, el triple de uvas que de cerezas y cuatro veces más cerezas que frambuesas. ¿Cuántas cerezas hay en la ensalada de frutas?

A fruit salad consists of blueberries, raspberries, grapes, and cherries. The fruit salad has a total of $280$ pieces of fruit. There are twice as many raspberries as blueberries, three times as many grapes as cherries, and four times as many cherries as raspberries. How many cherries are there in the fruit salad?

$8$

$16$

$25$

$64$

$96$

Respuesta: D

Conceptos:razón y proporción sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Expresa cada cantidad en términos del número de arándanos

Express every count in terms of the number of blueberries

Pista grande:

Con $b$ arándanos hay $2b$ frambuesas, $8b$ cerezas y $24b$ uvas

With $b$ blueberries there are $2b$ raspberries, $8b$ cherries, and $24b$ grapes

Solución:

Sea $b$ el número de arándanos. Entonces hay $2b$ frambuesas, $4 \cdot 2b = 8b$ cerezas y $3 \cdot 8b = 24b$ uvas.

El total es $b + 2b + 8b + 24b = 35b = 280,$ así que $b = 8$ y hay $8b = 64$ cerezas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $b$ be the number of blueberries. Then there are $2b$ raspberries, $4 \cdot 2b = 8b$ cherries, and $3 \cdot 8b = 24b$ grapes.

The total is $b + 2b + 8b + 24b = 35b = 280,$ so $b = 8$ and there are $8b = 64$ cherries.

Thus, the correct answer is D.

6.

Las sumas de tres números enteros tomados en pares son $12,$ $17,$ y $19.$ ¿Cuál es el número del medio?

The sums of three whole numbers taken in pairs are $12,$ $17,$ and $19.$ What is the middle number?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: D

Conceptos:sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Al sumar las tres sumas por pares se cuenta cada número dos veces

Adding all three pairwise sums counts each number twice

Pista grande:

El total $a+b+c$ es la mitad de $12+17+19$ ; resta cada suma de pares para obtener el tercer número

The total $a+b+c$ is half of $12+17+19$ ; subtract each pair sum to get the third number

Solución:

Sean los números $a \lt b \lt c.$ Sumar las tres sumas por pares da $2(a+b+c) = 12+17+19$ $= 48,$ así que $a+b+c = 24.$

Entonces $a = 24-19 = 5,$ $b = 24-17 = 7,$ y $c = 24-12 = 12.$ El número del medio es $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the numbers be $a \lt b \lt c.$ Adding the three pairwise sums gives $2(a+b+c) = 12+17+19$ $= 48,$ so $a+b+c = 24.$

Then $a = 24-19 = 5,$ $b = 24-17 = 7,$ and $c = 24-12 = 12.$ The middle number is $7.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Mary divide un círculo en $12$ sectores. Los ángulos centrales de estos sectores, medidos en grados, son todos enteros y forman una progresión aritmética. ¿Cuál es la medida en grados del menor ángulo de sector posible?

Mary divides a circle into $12$ sectors. The central angles of these sectors, measured in degrees, are all integers and they form an arithmetic sequence. What is the degree measure of the smallest possible sector angle?

$5$

$6$

$8$

$10$

$12$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética optimización

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Los doce ángulos suman $360^\circ$

The twelve angles sum to $360^\circ$

Pista grande:

Con primer término $a$ y diferencia común $d,$ $12a + 66d = 360,$ así que $2a + 11d = 60$

With first term $a$ and common difference $d,$ $12a + 66d = 360,$ so $2a + 11d = 60$

Solución:

Sea $a$ el ángulo más pequeño y $d \ge 0$ la diferencia común. La suma de los ángulos es $12a + 66d = 360,$ así que $2a + 11d = 60.$

Para hacer $a$ pequeño, toma $d$ grande. Como $11d$ debe ser par, $d$ es par, y $d = 4$ da $2a = 60 - 44 = 16,$ así que $a = 8.$ Un $d$ par mayor hace que $a$ sea no positivo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a$ be the smallest angle and $d \ge 0$ the common difference. The sum of the angles is $12a + 66d = 360,$ so $2a + 11d = 60.$

To make $a$ small, take $d$ large. Since $11d$ must be even, $d$ is even, and $d = 4$ gives $2a = 60 - 44 = 16,$ so $a = 8.$ A larger even $d$ makes $a$ non-positive.

Thus, the correct answer is C.

8.

Un promedio iterativo de los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ se calcula de la siguiente manera. Ordena los cinco números en algún orden. Halla la media de los dos primeros números, luego halla la media de eso con el tercer número, luego la media de eso con el cuarto número y, finalmente, la media de eso con el quinto número. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible que se puede obtener mediante este procedimiento?

An iterative average of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ is computed in the following way. Arrange the five numbers in some order. Find the mean of the first two numbers, then find the mean of that with the third number, then the mean of that with the fourth number, and finally the mean of that with the fifth number. What is the difference between the largest and smallest possible values that can be obtained using this procedure?

$\dfrac{31}{16}$

$2$

$\dfrac{17}{8}$

$3$

$\dfrac{65}{16}$

Respuesta: C

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Calcula el peso que cada posición aporta al promedio final

Work out the weight each position contributes to the final average

Pista grande:

Para el orden $a,b,c,d,e$ , el resultado es $\dfrac{a+b+2c+4d+8e}{16}$ ; las últimas posiciones son las que más importan

For the order $a,b,c,d,e$ the result is $\dfrac{a+b+2c+4d+8e}{16}$ ; the last entries matter most

Solución:

Para el orden $a, b, c, d, e,$ el promedio iterativo es $\frac{a + b + 2c + 4d + 8e}{16}.$ Las posiciones posteriores tienen el mayor peso.

El valor máximo usa $(a,b,c,d,e) = (1,2,3,4,5),$ dando $\dfrac{65}{16},$ y el mínimo usa $(5,4,3,2,1),$ dando $\dfrac{31}{16}$ .

La diferencia es $\dfrac{65}{16} - \dfrac{31}{16} = \dfrac{34}{16} = \dfrac{17}{8}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For the order $a, b, c, d, e,$ the iterative average is $\frac{a + b + 2c + 4d + 8e}{16}.$ The later positions carry the most weight.

The largest value uses $(a,b,c,d,e) = (1,2,3,4,5),$ giving $\dfrac{65}{16},$ and the smallest uses $(5,4,3,2,1),$ giving $\dfrac{31}{16}.$

The difference is $\dfrac{65}{16} - \dfrac{31}{16} = \dfrac{34}{16} = \dfrac{17}{8}.$

Thus, the correct answer is C.

9.

Un año es bisiesto si y solo si el número del año es divisible entre $400$ (como $2000$ ) o es divisible entre $4$ pero no entre $100$ (como $2012$ ). El $200$ º aniversario del nacimiento del novelista Charles Dickens se celebró el $7$ de febrero de $2012,$ un martes. ¿En qué día de la semana nació Dickens?

A year is a leap year if and only if the year number is divisible by $400$ (such as $2000$ ) or is divisible by $4$ but not by $100$ (such as $2012$ ). The $200$ th anniversary of the birth of novelist Charles Dickens was celebrated on February $7,$ $2012,$ a Tuesday. On what day of the week was Dickens born?

Viernes

Friday

Sábado

Saturday

Domingo

Sunday

Lunes

Monday

Martes

Tuesday

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular fecha y hora

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Cuenta el número total de días entre las dos fechas del $7$ de febrero, trabajando módulo $7$

Count the total number of days between the two February $7$ th dates, working modulo $7$

Pista grande:

En $200$ años hay $200 \cdot 365$ días ordinarios más uno adicional por cada año bisiesto; $1900$ no es bisiesto

In $200$ years there are $200 \cdot 365$ ordinary days plus one extra for each leap year; $1900$ is not a leap year

Solución:

Del $7$ de febrero de $1812$ al $7$ de febrero de $2012$ hay $200 \cdot 365 = 73000$ días ordinarios más uno por cada día bisiesto.

Una cuarta parte de los $200$ años contienen un día bisiesto, salvo $1900,$ lo que da $\tfrac14 \cdot 200 - 1 = 49$ días bisiestos. Así que el intervalo abarca $73049$ días.

Como $73049 = 7 \cdot 10435 + 4,$ el día de nacimiento fue $4$ días antes de un martes, que es un viernes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From February $7,$ $1812$ to February $7,$ $2012$ there are $200 \cdot 365 = 73000$ ordinary days plus one for each leap day.

One quarter of the $200$ years contain a leap day, except $1900,$ giving $\tfrac14 \cdot 200 - 1 = 49$ leap days. So the span is $73049$ days.

Since $73049 = 7 \cdot 10435 + 4,$ the birth day was $4$ days before a Tuesday, which is a Friday.

Thus, the correct answer is A.

10.

Un triángulo tiene área $30,$ un lado de longitud $10,$ y la mediana a ese lado de longitud $9.$ Sea $\theta$ el ángulo agudo formado por ese lado y la mediana. ¿Cuánto vale $\sin\theta$ ?

A triangle has area $30,$ one side of length $10,$ and the median to that side of length $9.$ Let $\theta$ be the acute angle formed by that side and the median. What is $\sin\theta?$

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{9}{20}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{9}{10}$

Respuesta: D

Conceptos:área del triángulo mediana (geometría)trigonometría

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Una mediana divide un triángulo en dos partes de igual área

A median splits a triangle into two pieces of equal area

Pista grande:

Uno de los medios triángulos tiene lados $5$ y $9$ con ángulo comprendido $\theta$ y área $15$

One half-triangle has sides $5$ and $9$ with included angle $\theta$ and area $15$

Solución:

La mediana divide el triángulo en dos triángulos de igual área $15.$ Uno de ellos tiene los dos lados de longitud $5$ (la mitad de la base) y $9$ (la mediana) que se encuentran en el ángulo $\theta.$

Su área es $\tfrac12 \cdot 5 \cdot 9 \sin\theta = 15,$ así que $\sin\theta = \dfrac{2 \cdot 15}{5 \cdot 9} = \dfrac{2}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The median divides the triangle into two triangles of equal area $15.$ One of them has the two sides of length $5$ (half the base) and $9$ (the median) meeting at angle $\theta.$

Its area is $\tfrac12 \cdot 5 \cdot 9 \sin\theta = 15,$ so $\sin\theta = \dfrac{2 \cdot 15}{5 \cdot 9} = \dfrac{2}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Alex, Mel y Chelsea juegan un juego que tiene $6$ rondas. En cada ronda hay un único ganador, y los resultados de las rondas son independientes. En cada ronda la probabilidad de que Alex gane es $\dfrac12,$ y Mel tiene el doble de probabilidad de ganar que Chelsea. ¿Cuál es la probabilidad de que Alex gane tres rondas, Mel gane dos rondas y Chelsea gane una ronda?

Alex, Mel, and Chelsea play a game that has $6$ rounds. In each round there is a single winner, and the outcomes of the rounds are independent. For each round the probability that Alex wins is $\dfrac12,$ and Mel is twice as likely to win as Chelsea. What is the probability that Alex wins three rounds, Mel wins two rounds, and Chelsea wins one round?

$\dfrac{5}{72}$

$\dfrac{5}{36}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$1$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica eventos independientes permutaciones de multiconjuntos

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Primero halla la probabilidad de victoria por ronda de cada jugador

First find each player’s per-round win probability

Pista grande:

Como $P(\text{Mel}) + P(\text{Chelsea}) = \dfrac12$ y $P(\text{Mel}) = 2P(\text{Chelsea}),$ multiplica por el número $\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!}$ de disposiciones

Since $P(\text{Mel}) + P(\text{Chelsea}) = \dfrac12$ and $P(\text{Mel}) = 2P(\text{Chelsea}),$ multiply by the number $\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!}$ of arrangements

Solución:

Como Alex gana con probabilidad $\tfrac12,$ los otros dos se reparten el $\tfrac12$ restante. Con Mel dos veces más probable que Chelsea, $P(\text{Mel}) = \tfrac13$ y $P(\text{Chelsea}) = \tfrac16.$

El número de ordenamientos de las victorias $AAAMMC$ es $\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!} = 60.$ La probabilidad es $\begin{aligned} 60 \cdot \left(\tfrac12\right)^3 \left(\tfrac13\right)^2 \left(\tfrac16\right) &= \frac{60}{432} \\ &= \frac{5}{36}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since Alex wins with probability $\tfrac12,$ the others share the remaining $\tfrac12.$ With Mel twice as likely as Chelsea, $P(\text{Mel}) = \tfrac13$ and $P(\text{Chelsea}) = \tfrac16.$

The number of orderings of the wins $AAAMMC$ is $\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!} = 60.$ The probability is $\begin{aligned} 60 \cdot \left(\tfrac12\right)^3 \left(\tfrac13\right)^2 \left(\tfrac16\right) &= \frac{60}{432} \\ &= \frac{5}{36}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

12.

Una región cuadrada $ABCD$ es tangente exteriormente al círculo de ecuación $x^2 + y^2 = 1$ en el punto $(0, 1)$ sobre el lado $CD.$ Los vértices $A$ y $B$ están sobre el círculo de ecuación $x^2 + y^2 = 4.$ ¿Cuál es la longitud del lado de este cuadrado?

A square region $ABCD$ is externally tangent to the circle with equation $x^2 + y^2 = 1$ at the point $(0, 1)$ on the side $CD.$ Vertices $A$ and $B$ are on the circle with equation $x^2 + y^2 = 4.$ What is the side length of this square?

$\dfrac{\sqrt{10} + 5}{10}$

$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}$

$\dfrac{9 - \sqrt{17}}{5}$

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica cuadrática simetría

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Usa la simetría respecto al eje $y$ para escribir $A = (a, b)$ y $B = (-a, b)$

Use the symmetry across the $y$ -axis to write $A = (a, b)$ and $B = (-a, b)$

Pista grande:

La longitud del lado es $2a$ en horizontal y $b - 1$ en vertical, así que $b = 2a + 1$ ; sustituye en $a^2 + b^2 = 4$

The side length is $2a$ horizontally and $b - 1$ vertically, so $b = 2a + 1$ ; substitute into $a^2 + b^2 = 4$

Solución:

Por simetría, sea $A = (a, b)$ con $a \gt 0$ y $B = (-a, b).$ El cuadrado se apoya en el punto de tangencia $(0,1),$ así que su ancho horizontal es $2a$ y su altura es $b - 1.$

Como estos son iguales, $2a = b - 1,$ lo que da $b = 2a + 1.$

Al sustituir en $a^2 + b^2 = 4$ se obtiene $5a^2 + 4a - 3 = 0.$ La raíz positiva es $a = \dfrac{\sqrt{19} - 2}{5},$ así que la longitud del lado es $2a = \dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By symmetry let $A = (a, b)$ with $a \gt 0$ and $B = (-a, b).$ The square sits on the tangent point $(0,1),$ so its horizontal width is $2a$ and its height is $b - 1.$

Since these are equal, $2a = b - 1,$ giving $b = 2a + 1.$

Substituting into $a^2 + b^2 = 4$ yields $5a^2 + 4a - 3 = 0.$ The positive root is $a = \dfrac{\sqrt{19} - 2}{5},$ so the side length is $2a = \dfrac{2\sqrt{19} - 4}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

13.

Paula la pintora y sus dos ayudantes pintan cada uno a un ritmo constante, pero diferente. Siempre comienzan a las $8{:}00$ AM y los tres siempre tardan lo mismo en almorzar. El lunes los tres pintaron el $50\%$ de una casa y terminaron a las $4{:}00$ PM. El martes, cuando Paula no estaba, los dos ayudantes pintaron solo el $24\%$ de la casa y terminaron a las $2{:}12$ PM. El miércoles Paula trabajó sola y terminó la casa trabajando hasta las $7{:}12$ PM. ¿Cuántos minutos duraba el descanso para almorzar cada día?

Paula the painter and her two helpers each paint at constant, but different, rates. They always start at $8{:}00$ AM and all three always take the same amount of time to eat lunch. On Monday the three of them painted $50\%$ of a house, quitting at $4{:}00$ PM. On Tuesday, when Paula wasn’t there, the two helpers painted only $24\%$ of the house and quit at $2{:}12$ PM. On Wednesday Paula worked by herself and finished the house by working until $7{:}12$ PM. How long, in minutes, was each day’s lunch break?

$30$

$36$

$42$

$48$

$60$

Respuesta: D

Conceptos:tasa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Sea $m$ el descanso para almorzar en minutos y sean $p$ y $h$ los ritmos de pintado (porcentaje por minuto)

Let the lunch break be $m$ minutes and let $p$ and $h$ be the painting rates (percent per minute)

Pista grande:

Los minutos de trabajo son $480 - m,$ $372 - m,$ y $672 - m$ ; plantea $(p+h)(480-m) = 50,$ $h(372-m) = 24,$ $p(672-m) = 26$

Working minutes are $480 - m,$ $372 - m,$ and $672 - m$ ; set up $(p+h)(480-m) = 50,$ $h(372-m) = 24,$ $p(672-m) = 26$

Solución:

Sea $m$ la duración del almuerzo en minutos. Los tres trabajaron $480 - m$ minutos el lunes, los ayudantes $372 - m$ minutos el martes, y Paula $672 - m$ minutos el miércoles.

Si Paula pinta $p\%$ por minuto y los ayudantes juntos pintan $h\%$ por minuto, entonces $\begin{aligned} (p+h)(480-m) &= 50, \\ h(372-m) &= 24, \\ p(672-m) &= 26. \end{aligned}$

Sumar las dos últimas ecuaciones y restarlas de la primera da $108h - 192p = 0,$ así que $h = \tfrac{16}{9}p.$ Al resolver el sistema se obtiene $p = \tfrac{1}{24}$ y $m = 48.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $m$ be the lunch length in minutes. The three worked $480 - m$ minutes Monday, the helpers $372 - m$ minutes Tuesday, and Paula $672 - m$ minutes Wednesday.

If Paula paints $p\%$ per minute and the helpers together paint $h\%$ per minute, then $\begin{aligned} (p+h)(480-m) &= 50, \\ h(372-m) &= 24, \\ p(672-m) &= 26. \end{aligned}$

Adding the last two equations and subtracting from the first gives $108h - 192p = 0,$ so $h = \tfrac{16}{9}p.$ Solving the system gives $p = \tfrac{1}{24}$ and $m = 48.$

Thus, the correct answer is D.

14.

La curva cerrada de la figura está formada por $9$ arcos circulares congruentes, cada uno de longitud $\dfrac{2\pi}{3},$ donde cada uno de los centros de los círculos correspondientes está entre los vértices de un hexágono regular de lado $2.$ ¿Cuál es el área encerrada por la curva?

The closed curve in the figure is made up of $9$ congruent circular arcs each of length $\dfrac{2\pi}{3},$ where each of the centers of the corresponding circles is among the vertices of a regular hexagon of side $2.$ What is the area enclosed by the curve?

$2\pi + 6$

$2\pi + 4\sqrt{3}$

$3\pi + 4$

$2\pi + 3\sqrt{3} + 2$

$\pi + 6\sqrt{3}$

Respuesta: E

Conceptos:descomposición de áreas sector circular polígono regular

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Cada arco es un sector de $120^\circ$ de un círculo unitario, ya que una longitud de arco $\dfrac{2\pi}{3}$ significa radio $1$

Each arc is a $120^\circ$ sector of a unit circle, since arc length $\dfrac{2\pi}{3}$ means radius $1$

Pista grande:

Los sectores hacia afuera y hacia adentro se reordenan en un círculo unitario completo añadido al hexágono de lado $2$

The outward and inward sectors rearrange into one full unit circle added to the hexagon of side $2$

Solución:

Cada arco tiene longitud $\dfrac{2\pi}{3}$ en un círculo unitario, así que es un sector de $120^\circ$ . Los nueve sectores iguales se pueden reensamblar de modo que la región encerrada sea igual al hexágono regular de lado $2$ más un círculo completo de radio $1.$

Un hexágono regular de lado $2$ se divide en $6$ triángulos equiláteros de lado $2,$ así que su área es $6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 2^2 = 6\sqrt3.$

Al sumar el área del círculo unitario $\pi$ se obtiene $\pi + 6\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each arc has length $\dfrac{2\pi}{3}$ on a unit circle, so it is a $120^\circ$ sector. The nine equal sectors can be reassembled so that the enclosed region equals the regular hexagon of side $2$ plus one full circle of radius $1.$

A regular hexagon of side $2$ splits into $6$ equilateral triangles of side $2,$ so its area is $6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 2^2 = 6\sqrt3.$

Adding the unit circle’s area $\pi$ gives $\pi + 6\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

15.

Un cuadrado de $3 \times 3$ se divide en $9$ cuadrados unitarios. Cada cuadrado unitario se pinta de blanco o de negro, siendo cada color igualmente probable, elegido de forma independiente y al azar. Luego el cuadrado se rota $90^\circ$ en sentido horario alrededor de su centro, y todo cuadrado blanco que quede en una posición antes ocupada por un cuadrado negro se pinta de negro. Los colores de todos los demás cuadrados permanecen sin cambios. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuadrícula sea ahora completamente negra?

A $3 \times 3$ square is partitioned into $9$ unit squares. Each unit square is painted either white or black with each color being equally likely, chosen independently and at random. The square is then rotated $90^\circ$ clockwise about its center, and every white square in a position formerly occupied by a black square is painted black. The colors of all other squares are left unchanged. What is the probability that the grid is now entirely black?

$\dfrac{49}{512}$

$\dfrac{7}{64}$

$\dfrac{121}{1024}$

$\dfrac{81}{512}$

$\dfrac{9}{32}$

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad básica simetría análisis por casos

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Trata las cuatro esquinas, los cuatro bordes y el centro como tres grupos independientes

Treat the four corners, the four edges, and the center as three independent groups

Pista grande:

Un cuadrado termina negro a menos que sea blanco y el cuadrado que la rotación lleva a su posición también fuera blanco; el centro debe empezar negro

A square ends black unless it is white and the square rotated into its position was also white; the center must start black

Solución:

Las cuatro esquinas forman un ciclo bajo la rotación, los cuatro cuadrados de los bordes forman otro, y el centro queda fijo. Estos tres grupos son independientes.

Una posición sigue blanca exactamente cuando tanto ella como el cuadrado que gira hasta ella eran blancos al principio. Por tanto, las esquinas terminan todas negras exactamente cuando su cadena cíclica no tiene dos blancos adyacentes. Las cadenas permitidas son la totalmente negra, las $4$ que tienen un blanco y las $2$ que tienen dos blancos opuestos: $7$ de las $2^4=16$ posibilidades. Así, la probabilidad para las esquinas es $\frac{7}{16}.$ El mismo argumento vale para los cuatro cuadrados de los bordes.

El centro termina negro solo si empezó negro, con probabilidad $\dfrac12.$ Al multiplicar, toda la cuadrícula queda negra con probabilidad $\frac12 \cdot \left(\frac{7}{16}\right)^2 = \frac{49}{512}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The four corners form one cycle under the rotation, the four edge squares form another, and the center is fixed. These three groups are independent.

A position remains white exactly when both it and the square rotated into it were originally white. Thus the corners end black exactly when their cyclic string has no adjacent pair of whites. The allowed strings are the all-black string, the $4$ strings with one white, and the $2$ strings with two opposite whites: $7$ of the $2^4=16$ possibilities. Hence the corner probability is $\frac{7}{16}.$ The same argument applies to the four edge squares.

The center is black at the end only if it started black, with probability $\dfrac12.$ Multiplying, the whole grid is black with probability $\frac12 \cdot \left(\frac{7}{16}\right)^2 = \frac{49}{512}.$

Thus, the correct answer is A.

16.

El círculo $C_1$ tiene su centro $O$ sobre el círculo $C_2.$ Los dos círculos se cortan en $X$ y $Y.$ El punto $Z$ , en el exterior de $C_1$ , está sobre el círculo $C_2$ y $XZ = 13,$ $OZ = 11,$ y $YZ = 7.$ ¿Cuál es el radio del círculo $C_1$ ?

Circle $C_1$ has its center $O$ lying on circle $C_2.$ The two circles meet at $X$ and $Y.$ Point $Z$ in the exterior of $C_1$ lies on circle $C_2$ and $XZ = 13,$ $OZ = 11,$ and $YZ = 7.$ What is the radius of circle $C_1?$

$5$

$\sqrt{26}$

$3\sqrt{3}$

$2\sqrt{7}$

$\sqrt{30}$

Respuesta: E

Conceptos:ley de los cosenos cuerda círculo

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Sea $r$ el radio, de modo que $OX = OY = r$ ; estas cuerdas iguales de $C_2$ subtienden ángulos iguales en $Z$

Let $r$ be the radius, so $OX = OY = r$ ; these equal chords of $C_2$ subtend equal angles at $Z$

Pista grande:

Aplica la ley de cosenos a los triángulos $XZO$ y $YZO$ e iguala las dos expresiones para $\cos\angle Z$

Apply the Law of Cosines to triangles $XZO$ and $YZO$ and set the two expressions for $\cos\angle Z$ equal

Solución:

Sea $r$ el radio de $C_1,$ de modo que $OX = OY = r.$ Estas son cuerdas iguales de $C_2,$ así que subtienden ángulos iguales en $Z:$ $\angle XZO = \angle OZY.$

Aplicando la ley de cosenos a los triángulos $XZO$ y $YZO,$ $\begin{aligned} &\frac{13^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 13 \cdot 11} \\ &= \frac{7^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 7 \cdot 11}. \end{aligned}$

Al eliminar los denominadores y resolver se obtiene $r^2 = 30,$ así que $r = \sqrt{30}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $r$ be the radius of $C_1,$ so $OX = OY = r.$ These are equal chords of $C_2,$ so they subtend equal angles at $Z:$ $\angle XZO = \angle OZY.$

Applying the Law of Cosines to triangles $XZO$ and $YZO,$ $\begin{aligned} &\frac{13^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 13 \cdot 11} \\ &= \frac{7^2 + 11^2 - r^2}{2 \cdot 7 \cdot 11}. \end{aligned}$

Clearing denominators and solving gives $r^2 = 30,$ so $r = \sqrt{30}.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Sea $S$ un subconjunto de $\{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ con la propiedad de que ningún par de elementos distintos de $S$ tiene una suma divisible entre $5.$ ¿Cuál es el mayor tamaño posible de $S$ ?

Let $S$ be a subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ with the property that no pair of distinct elements in $S$ has a sum divisible by $5.$ What is the largest possible size of $S?$

$10$

$13$

$15$

$16$

$18$

Respuesta: B

Conceptos:aritmética modular subconjuntos argumento extremal

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Ordena los números por su residuo módulo $5$ ; hay $6$ números en cada clase

Sort the numbers by their remainder modulo $5$ ; there are $6$ numbers in each class

Pista grande:

Los residuos $1$ y $4$ no pueden aparecer ambos, ni tampoco $2$ y $3,$ y se permite a lo sumo un múltiplo de $5$

Residues $1$ and $4$ cannot both appear, nor can $2$ and $3,$ and at most one multiple of $5$ is allowed

Solución:

Agrupa $\{1, \ldots, 30\}$ por residuo módulo $5;$ cada clase tiene $6$ números. Una suma es divisible entre $5$ cuando los residuos son $0{+}0,$ $1{+}4,$ o $2{+}3.$

Así que $S$ puede usar a lo sumo un número $\equiv 0,$ y solo una de las clases $\{1\}, \{4\}$ y solo una de $\{2\}, \{3\}.$ Eso permite a lo sumo $1 + 6 + 6 = 13$ números.

El conjunto $\{1, 2, 6, 7, 11, 12,$ $16, 17, 21, 22,$ $26, 27, 30\}$ alcanza $13,$ así que el máximo es $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Group $\{1, \ldots, 30\}$ by residue modulo $5;$ each class has $6$ numbers. A sum is divisible by $5$ when the residues are $0{+}0,$ $1{+}4,$ or $2{+}3.$

So $S$ can use at most one number $\equiv 0,$ and only one of the classes $\{1\}, \{4\}$ and only one of $\{2\}, \{3\}.$ That allows at most $1 + 6 + 6 = 13$ numbers.

The set $\{1, 2, 6, 7, 11, 12,$ $16, 17, 21, 22,$ $26, 27, 30\}$ achieves $13,$ so the maximum is $13.$

Thus, the correct answer is B.

18.

El triángulo $ABC$ tiene $AB = 27,$ $AC = 26,$ y $BC = 25.$ Sea $I$ la intersección de las bisectrices internas de $\triangle ABC.$ ¿Cuánto vale $BI$ ?

Triangle $ABC$ has $AB = 27,$ $AC = 26,$ and $BC = 25.$ Let $I$ denote the intersection of the internal angle bisectors of $\triangle ABC.$ What is $BI?$

$15$

$5 + \sqrt{26} + 3\sqrt{3}$

$3\sqrt{26}$

$\dfrac{2}{3}\sqrt{546}$

$9\sqrt{3}$

Respuesta: A

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Herón Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Traza perpendiculares desde $I$ a los lados; el segmento tangente desde $B$ tiene longitud $s - b$

Drop perpendiculars from $I$ to the sides; the tangent segment from $B$ has length $s - b$

Pista grande:

Halla el inradio a partir de área $= rs$ y la fórmula de Herón, luego usa el triángulo rectángulo con catetos $r$ y $BD$

Find the inradius from area $= rs$ and Heron’s formula, then use the right triangle with legs $r$ and $BD$

Solución:

Sea $D$ el pie de la perpendicular desde el incentro $I$ hasta $BC.$ La longitud tangente $BD = s - AC,$ donde $s = \tfrac12(25 + 26 + 27) = 39,$ así que $BD = 39 - 26 = 13.$

Por la fórmula de Herón, el área es $\sqrt{39 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12},$ y el inradio satisface $r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$ $= \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{39}$ $= 56.$

En el triángulo rectángulo $BDI,$ $BI^2 = r^2 + BD^2$ $= 56 + 169$ $= 225,$ así que $BI = 15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $D$ be the foot of the perpendicular from the incenter $I$ to $BC.$ The tangent length $BD = s - AC,$ where $s = \tfrac12(25 + 26 + 27) = 39,$ so $BD = 39 - 26 = 13.$

By Heron’s formula the area is $\sqrt{39 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12},$ and the inradius satisfies $r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}$ $= \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{39}$ $= 56.$

In right triangle $BDI,$ $BI^2 = r^2 + BD^2$ $= 56 + 169$ $= 225,$ so $BI = 15.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Adam, Benin, Chiang, Deshawn, Esther y Fiona tienen cuentas de internet. Algunos de ellos, pero no todos, son amigos de internet entre sí, y ninguno tiene un amigo de internet fuera de este grupo. Cada uno de ellos tiene el mismo número de amigos de internet. ¿De cuántas maneras diferentes puede ocurrir esto?

Adam, Benin, Chiang, Deshawn, Esther, and Fiona have internet accounts. Some, but not all, of them are internet friends with each other, and none of them has an internet friend outside this group. Each of them has the same number of internet friends. In how many different ways can this happen?

$60$

$170$

$290$

$320$

$660$

Respuesta: B

Conceptos:teoría de grafos conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Modela las amistades como un grafo de $6$ vértices donde todos tienen el mismo grado $n,$ con $1 \le n \le 4$

Model the friendships as a graph on $6$ vertices where everyone has the same degree $n,$ with $1 \le n \le 4$

Pista grande:

Los casos $n = 1$ y $n = 4$ son complementarios entre sí, al igual que $n = 2$ y $n = 3;$ cuenta por separado los dos tipos de grafos $2$ -regulares

The cases $n = 1$ and $n = 4$ are complements of each other, as are $n = 2$ and $n = 3;$ count the two $2$ -regular graph types separately

Solución:

Modela a las personas como vértices de un grafo, con aristas para las amistades. Todos tienen el mismo grado $n$ con $1 \le n \le 4.$ Los casos $n$ y $6 - 1 - n$ son grafos complementarios, así que $n = 1$ se empareja con $n = 4$ y $n = 2$ con $n = 3.$

Para $n = 1$ el grafo es un emparejamiento perfecto: $5 \cdot 3 = 15$ maneras. Por lo tanto $n = 4$ también da $15.$

Para $n = 2$ el grafo es una unión de ciclos: o bien dos triángulos $\left(\binom{5}{2} = 10\right)$ o bien un hexágono $\left(\dfrac{6!}{12} = 60\right),$ sumando $70.$ Por lo tanto $n = 3$ también da $70.$

El total es $15 + 15 + 70 + 70 = 170.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Model people as vertices of a graph, with edges for friendships. Everyone has the same degree $n$ with $1 \le n \le 4.$ The cases $n$ and $6 - 1 - n$ are complementary graphs, so $n = 1$ pairs with $n = 4$ and $n = 2$ with $n = 3.$

For $n = 1$ the graph is a perfect matching: $5 \cdot 3 = 15$ ways. Thus $n = 4$ also gives $15.$

For $n = 2$ the graph is a union of cycles: either two triangles $\left(\binom{5}{2} = 10\right)$ or one hexagon $\left(\dfrac{6!}{12} = 60\right),$ totaling $70.$ Thus $n = 3$ also gives $70.$

The total is $15 + 15 + 70 + 70 = 170.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Considera el polinomio $\begin{aligned} P(x) &= \prod_{k=0}^{10}\left(x^{2^k} + 2^k\right) \\ &= (x+1)(x^2+2)(x^4+4) \\ &\quad \cdots (x^{1024}+1024). \end{aligned}$

El coeficiente de $x^{2012}$ es igual a $2^a.$ ¿Cuánto vale $a$ ?

Consider the polynomial $\begin{aligned} P(x) &= \prod_{k=0}^{10}\left(x^{2^k} + 2^k\right) \\ &= (x+1)(x^2+2)(x^4+4) \\ &\quad \cdots (x^{1024}+1024). \end{aligned}$

The coefficient of $x^{2012}$ is equal to $2^a.$ What is $a?$

$5$

$6$

$7$

$10$

$24$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio potencia de 2 base numérica

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Cada factor aporta o bien su término $x^{2^k}$ o bien su constante $2^k$ ; los exponentes elegidos deben sumar $2012$

Each factor contributes either its $x^{2^k}$ term or its constant $2^k$ ; the chosen exponents must sum to $2012$

Pista grande:

Solo hay una manera de escribir $2012$ como suma de potencias distintas de dos, así que exactamente un término produce $x^{2012}$

There is only one way to write $2012$ as a sum of distinct powers of two, so exactly one term produces $x^{2012}$

Solución:

Al expandir el producto, un término de grado $2012$ proviene de elegir $x^{2^k}$ de algunos factores de modo que los exponentes sumen $2012.$ Como las potencias de dos son distintas, esto corresponde a la representación binaria $2012 = 11111011100_2.$

Esa representación es única, así que exactamente un término da $x^{2012},$ y su coeficiente es el producto de las constantes $2^k$ de los factores restantes: los que tienen $k \in \{0, 1, 5\}.$

El coeficiente es $2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^5 = 2^6,$ así que $a = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Expanding the product, a term of degree $2012$ comes from choosing $x^{2^k}$ from some factors so that the exponents sum to $2012.$ Since powers of two are distinct, this corresponds to the binary representation $2012 = 11111011100_2.$

That representation is unique, so exactly one term gives $x^{2012},$ and its coefficient is the product of the constants $2^k$ from the remaining factors: those with $k \in \{0, 1, 5\}.$

The coefficient is $2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^5 = 2^6,$ so $a = 6.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Sean $a,$ $b,$ y $c$ enteros positivos con $a \ge b \ge c$ tales que $a^2 - b^2 - c^2 + ab = 2011$ y $\begin{aligned} &a^2 + 3b^2 + 3c^2 \\ &\quad {}- 3ab - 2ac - 2bc = -1997. \end{aligned}$

¿Cuánto vale $a$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be positive integers with $a \ge b \ge c$ such that $a^2 - b^2 - c^2 + ab = 2011$ and $\begin{aligned} &a^2 + 3b^2 + 3c^2 \\ &\quad {}- 3ab - 2ac - 2bc = -1997. \end{aligned}$

What is $a?$

$249$

$250$

$251$

$252$

$253$

Respuesta: E

Conceptos:manipulación algebraica sistema de ecuaciones Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Suma las dos ecuaciones para obtener una expresión simétrica limpia

Add the two equations to get a clean symmetric expression

Pista grande:

La suma se simplifica a $(a-b)^2$ $+ (b-c)^2$ $+ (c-a)^2 = 14,$ y $14 = 3^2 + 2^2 + 1^2$ de forma única

The sum simplifies to $(a-b)^2$ $+ (b-c)^2$ $+ (c-a)^2 = 14,$ and $14 = 3^2 + 2^2 + 1^2$ uniquely

Solución:

Sumar las dos ecuaciones da $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$ $- 2ab - 2bc - 2ca = 14,$ es decir, $\begin{aligned} &(a-b)^2 + (b-c)^2 \\ &\quad {}+ (c-a)^2 = 14. \end{aligned}$

La única manera de escribir $14$ como suma de tres cuadrados es $9 + 4 + 1.$ Como $a \ge b \ge c,$ obtenemos $a - c = 3,$ con $(a-b, b-c) = (2,1)$ o $(1,2).$

Al sustituir $(a, b, c) = (c+3, c+1, c)$ en la primera ecuación se obtiene $3(2c+3) + 2(c+1) = 2011,$ así que $c = 250$ y $(a, b, c) = (253, 251, 250).$ El otro caso no tiene solución entera.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding the two equations gives $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$ $- 2ab - 2bc - 2ca = 14,$ that is, $\begin{aligned} &(a-b)^2 + (b-c)^2 \\ &\quad {}+ (c-a)^2 = 14. \end{aligned}$

The only way to write $14$ as a sum of three squares is $9 + 4 + 1.$ Since $a \ge b \ge c,$ we get $a - c = 3,$ with either $(a-b, b-c) = (2,1)$ or $(1,2).$

Substituting $(a, b, c) = (c+3, c+1, c)$ into the first equation gives $3(2c+3) + 2(c+1) = 2011,$ so $c = 250$ and $(a, b, c) = (253, 251, 250).$ The other case has no integer solution.

Thus, the correct answer is E.

22.

Planos distintos $p_1,$ $p_2,$ $\ldots,$ $p_k$ cortan el interior de un cubo $Q.$ Sea $S$ la unión de las caras de $Q$ y sea $P = \bigcup_{j=1}^{k} p_j.$ La intersección de $P$ y $S$ consiste en la unión de todos los segmentos que unen los puntos medios de cada par de aristas que pertenecen a una misma cara de $Q.$ ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible de $k$ ?

Distinct planes $p_1,$ $p_2,$ $\ldots,$ $p_k$ intersect the interior of a cube $Q.$ Let $S$ be the union of the faces of $Q$ and let $P = \bigcup_{j=1}^{k} p_j.$ The intersection of $P$ and $S$ consists of the union of all segments joining the midpoints of every pair of edges belonging to the same face of $Q.$ What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $k?$

$8$

$12$

$20$

$23$

$24$

Respuesta: C

Conceptos:geometría del cubo Geometría 3D análisis por casos

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

En cada cara los segmentos dibujados unen puntos medios de aristas; clasifica la sección de un plano como cuadrado, rectángulo, triángulo o hexágono

On each face the drawn segments join midpoints of edges; classify a plane’s cross-section as a square, rectangle, triangle, or hexagon

Pista grande:

Para el máximo, cuenta todos los planos de cada tipo; para el mínimo, cubre los $24$ segmentos cortos y $12$ segmentos largos con la menor cantidad de planos posible

For the maximum, count all planes of each type; for the minimum, cover all $24$ short and $12$ long segments with as few planes as possible

Solución:

En cada cara, los segmentos requeridos unen puntos medios de aristas. Un plano que corta el cubo se encuentra con las caras en una de cuatro formas simétricas: un cuadrado por puntos medios ( $3$ planos), un rectángulo por arista ( $12$ planos), un triángulo por vértice ( $8$ planos), o un hexágono regular por par de vértices opuestos ( $4$ planos).

Usarlos todos da el máximo $k = 3 + 12 + 8 + 4 = 27.$

La figura completa consta de $24$ segmentos cortos y $12$ largos. Un plano cuadrado contiene $(0,4),$ uno rectangular $(2,2),$ uno triangular $(3,0),$ y uno hexagonal $(6,0)$ segmentos cortos y largos, respectivamente. Demos peso $1$ a cada segmento corto y peso $\frac{3}{2}$ a cada largo. Cada plano cubre entonces peso a lo sumo $6,$ mientras que los segmentos requeridos tienen peso total $24+(\frac{3}{2})12=42.$ Así, se necesitan al menos $7$ planos. Los $4$ planos hexagonales cubren los $24$ segmentos cortos y los $3$ planos cuadrados cubren los $12$ largos, por lo que $k=7$ es alcanzable.

La diferencia es $27 - 7 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

On every face, the required segments join midpoints of edges. A plane cutting the cube meets the faces in one of four symmetric shapes: a square through midpoints ( $3$ such planes), a rectangle per edge ( $12$ planes), a triangle per vertex ( $8$ planes), or a regular hexagon per pair of opposite vertices ( $4$ planes).

Using all of them gives the maximum $k = 3 + 12 + 8 + 4 = 27.$

The full figure consists of $24$ short segments and $12$ long segments. A square plane contains $(0,4),$ a rectangle $(2,2),$ a triangle $(3,0),$ and a hexagon $(6,0)$ short and long segments, respectively. Give each short segment weight $1$ and each long segment weight $\frac{3}{2}.$ Every plane then covers weight at most $6,$ whereas the required segments have total weight $24+(\frac{3}{2})12=42.$ Thus at least $7$ planes are needed. The $4$ hexagon planes cover all $24$ short segments, and the $3$ square planes cover all $12$ long segments, so $k=7$ is attainable.

The difference is $27 - 7 = 20.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Sea $S$ el cuadrado una de cuyas diagonales tiene extremos $(0.1, 0.7)$ y $(-0.1, -0.7).$ Se elige un punto $v = (x, y)$ de forma uniforme al azar entre todos los pares de números reales $x$ y $y$ tales que $0 \le x \le 2012$ y $0 \le y \le 2012.$ Sea $T(v)$ una copia trasladada de $S$ centrada en $v.$ ¿Cuál es la probabilidad de que la región cuadrada determinada por $T(v)$ contenga exactamente dos puntos de coordenadas enteras en su interior?

Let $S$ be the square one of whose diagonals has endpoints $(0.1, 0.7)$ and $(-0.1, -0.7).$ A point $v = (x, y)$ is chosen uniformly at random over all pairs of real numbers $x$ and $y$ such that $0 \le x \le 2012$ and $0 \le y \le 2012.$ Let $T(v)$ be a translated copy of $S$ centered at $v.$ What is the probability that the square region determined by $T(v)$ contains exactly two points with integer coordinates in its interior?

$0.125$

$0.14$

$0.16$

$0.25$

$0.32$

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad geométrica punto reticular área

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

El cuadrado $S$ tiene diagonales de longitud $\sqrt2$ y área $1;$ por periodicidad, redúcelo a una celda unitaria de la retícula

The square $S$ has diagonals of length $\sqrt2$ and area $1;$ by periodicity, reduce to one unit cell of the lattice

Pista grande:

$T(v)$ contiene un punto de la retícula exactamente cuando $v$ está en la copia de $S$ centrada allí; contener dos requiere que $v$ esté en el solapamiento de copias centradas en puntos adyacentes de la retícula

$T(v)$ contains a lattice point exactly when $v$ lies in the copy of $S$ centered there; containing two requires $v$ in the overlap of copies centered at adjacent lattice points

Solución:

La diagonal de $(0.1, 0.7)$ a $(-0.1, -0.7)$ mide $\sqrt{0.2^2 + 1.4^2} = \sqrt2,$ así que $S$ es un cuadrado de área $1.$ La traslación $T(v)$ contiene un punto de la retícula exactamente cuando $v$ está dentro de la copia de $S$ centrada en ese punto.

Contener exactamente dos puntos interiores de la retícula exige que $v$ esté en la intersección de dos copias centradas en puntos adyacentes. Por periodicidad, la respuesta es el área total de esas intersecciones dentro de una celda unitaria.

Consideremos las copias centradas en $(0,0)$ y $(1,0).$ Su intersección es un rectángulo. Un giro de un cuarto de vuelta de la semidiagonal dada produce los vértices pertinentes $(0.7,-0.1)$ y $(0.3,0.1).$ Siguiendo los dos pares de lados paralelos hasta sus intersecciones, se obtienen longitudes $0.4$ y $0.2,$ por lo que el área de intersección es $0.08.$ Las copias con centros diagonales no se superponen, y las adyacencias horizontales y verticales contribuyen por igual. Al considerar los bordes de la celda, la probabilidad es $2\cdot0.08=0.16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The diagonal from $(0.1, 0.7)$ to $(-0.1, -0.7)$ has length $\sqrt{0.2^2 + 1.4^2} = \sqrt2,$ so $S$ is a square of area $1.$ The translate $T(v)$ contains a lattice point exactly when $v$ lies inside the copy of $S$ centered at that point.

Containing exactly two interior lattice points requires $v$ to lie in the overlap of two copies centered at adjacent lattice points. By periodicity the answer is the total such overlap area within one unit cell.

Consider copies centered at $(0,0)$ and $(1,0).$ Their overlap is a rectangle. A quarter-turn of the listed half-diagonal gives the relevant vertices $(0.7,-0.1)$ and $(0.3,0.1).$ Following the two pairs of parallel sides through their intersections gives side lengths $0.4$ and $0.2,$ so the overlap area is $0.08.$ Diagonally centered copies do not overlap, and horizontal and vertical adjacencies contribute equally. Accounting for the cell boundaries gives probability $2\cdot0.08=0.16.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Sea $\{a_k\}_{k=1}^{2011}$ la sucesión de números reales definida por $a_1 = 0.201,$ $a_2 = (0.2011)^{a_1},$ $a_3 = (0.20101)^{a_2},$ y $a_4 = (0.201011)^{a_3},$ y, más en general, $a_k = \begin{cases} \tiny \left(0.\underbrace{20101\ldots0101}_{k+2 \text{ dígitos}}\right)^{a_{k-1}}, & \tiny \text{si } k \text{ es impar,} \\ \tiny \left(0.\underbrace{20101\ldots01011}_{k+2 \text{ dígitos}}\right)^{a_{k-1}}, & \tiny \text{si } k \text{ es par.} \end{cases}$

Al reordenar los números de la sucesión $\{a_k\}_{k=1}^{2011}$ en orden decreciente se produce una nueva sucesión $\{b_k\}_{k=1}^{2011}.$ ¿Cuál es la suma de todos los enteros $k,$ $1 \le k \le 2011,$ tales que $a_k = b_k$ ?

Let $\{a_k\}_{k=1}^{2011}$ be the sequence of real numbers defined by $a_1 = 0.201,$ $a_2 = (0.2011)^{a_1},$ $a_3 = (0.20101)^{a_2},$ and $a_4 = (0.201011)^{a_3},$ and more generally $a_k = \begin{cases} \tiny \left(0.\underbrace{20101\ldots0101}_{k+2 \text{ digits}}\right)^{a_{k-1}}, & \tiny \text{if } k \text{ is odd,} \\ \tiny \left(0.\underbrace{20101\ldots01011}_{k+2 \text{ digits}}\right)^{a_{k-1}}, & \tiny \text{if } k \text{ is even.} \end{cases}$

Rearranging the numbers in the sequence $\{a_k\}_{k=1}^{2011}$ in decreasing order produces a new sequence $\{b_k\}_{k=1}^{2011}.$ What is the sum of all the integers $k,$ $1 \le k \le 2011,$ such that $a_k = b_k?$

$671$

$1006$

$1341$

$2011$

$2012$

Respuesta: C

Conceptos:exponente desigualdad

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Cada base está entre $0$ y $1,$ así que elevar a una potencia invierte el orden; compara términos consecutivos

Each base is between $0$ and $1,$ so raising to a power reverses order; compare consecutive terms

Pista grande:

Los valores se entrelazan: $1 \gt a_2 \gt a_4 \gt \cdots \gt a_{2010}$ $\gt a_{2011} \gt a_{2009}$ $\gt \cdots \gt a_1;$ un término queda fijo cuando su rango es igual a su índice

The values interleave: $1 \gt a_2 \gt a_4 \gt \cdots \gt a_{2010}$ $\gt a_{2011} \gt a_{2009}$ $\gt \cdots \gt a_1;$ a term is fixed when its rank equals its index

Solución:

Como cada base está estrictamente entre $0$ y $1,$ la función $t \mapsto (\text{base})^t$ es decreciente, mientras que $t \mapsto t^b$ es creciente para $b \gt 0.$ Al comparar los términos se ve que la sucesión se ordena como $\begin{aligned} &1 \gt a_2 \gt a_4 \gt \cdots \gt a_{2010} \\ &\gt a_{2011} \gt a_{2009} \\ &\gt \cdots \gt a_1 \gt 0. \end{aligned}$

Así, en el ordenamiento decreciente, los términos de índice par van primero, luego los términos de índice impar en orden inverso. Un término satisface $a_k = b_k$ exactamente cuando su posición es igual a su índice, lo que para la cola impar descendente requiere $2(k - 1006) = 2011 - k.$

Al resolver se obtiene $3k = 4023,$ así que $k = 1341,$ el único índice fijo, y la suma es $1341.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because each base lies strictly between $0$ and $1,$ the function $t \mapsto (\text{base})^t$ is decreasing, while $t \mapsto t^b$ is increasing for $b \gt 0.$ Comparing terms shows the sequence orders as $\begin{aligned} &1 \gt a_2 \gt a_4 \gt \cdots \gt a_{2010} \\ &\gt a_{2011} \gt a_{2009} \\ &\gt \cdots \gt a_1 \gt 0. \end{aligned}$

So in the decreasing arrangement, the even-indexed terms come first, then the odd-indexed terms in reverse. A term satisfies $a_k = b_k$ exactly when its position equals its index, which for the descending odd tail requires $2(k - 1006) = 2011 - k.$

Solving gives $3k = 4023,$ so $k = 1341,$ the unique fixed index, and the sum is $1341.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Sea $f(x) = |2\{x\} - 1|$ donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x.$ El número $n$ es el menor entero positivo tal que la ecuación $nf(xf(x)) = x$ tiene al menos $2012$ soluciones reales $x.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

Nota: la parte fraccionaria de $x$ es un número real $y = \{x\},$ tal que $0 \le y \lt 1$ y $x - y$ es un entero.

Let $f(x) = |2\{x\} - 1|$ where $\{x\}$ denotes the fractional part of $x.$ The number $n$ is the smallest positive integer such that the equation $nf(xf(x)) = x$ has at least $2012$ real solutions $x.$ What is $n?$

Note: the fractional part of $x$ is a real number $y = \{x\},$ such that $0 \le y \lt 1$ and $x - y$ is an integer.

$30$

$31$

$32$

$62$

$64$

Respuesta: C

Conceptos:funciones piso y techo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

$f$ es una onda triangular periódica con $0 \le f(x) \le 1,$ así que todas las soluciones están en $[0, n]$

$f$ is a periodic triangular wave with $0 \le f(x) \le 1,$ so all solutions lie in $[0, n]$

Pista grande:

En cada intervalo unitario, la gráfica de $y = f(xf(x))$ oscila un número creciente de veces; el número total de intersecciones con $y = \dfrac{x}{n}$ es $2n^2$

On each unit interval the graph of $y = f(xf(x))$ oscillates a growing number of times; the total number of intersections with $y = \dfrac{x}{n}$ is $2n^2$

Solución:

Como $0 \le f(x) \le 1,$ toda solución está en $[0,n].$ La función $f$ es una onda triangular de período $1.$ Sea $g(x)=xf(x).$ Para cada entero $a\ge1,$ la función $g$ decrece de $a$ a $0$ en $[a,a+\tfrac12),$ mientras que crece de $0$ a $a+1$ en $[a+\tfrac12,a+1).$ El primer intervalo $[0,\tfrac12)$ es excepcional, pero no aporta ninguna intersección con $y=\frac{x}{n}.$

Contando las oscilaciones, en los intervalos $[a, a + \tfrac12)$ y $[a + \tfrac12, a+1)$ la curva $y = f(g(x))$ se encuentra con la recta $y = \tfrac{x}{n}$ un total de $2a$ y $2(a+1)$ veces. Sumando sobre $a = 0, \ldots, n-1$ se obtienen $\sum_{a=0}^{n-1}\bigl(2a + 2(a+1)\bigr) = 2n^2$ soluciones reales.

El menor $n$ con $2n^2 \ge 2012$ es $n = 32,$ ya que $2 \cdot 31^2 = 1922$ y $2 \cdot 32^2 = 2048.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $0 \le f(x) \le 1,$ every solution lies in $[0,n].$ The function $f$ is a triangular wave of period $1.$ Put $g(x)=xf(x).$ For each integer $a\ge1,$ the function $g$ decreases from $a$ to $0$ on $[a,a+\tfrac12),$ while it increases from $0$ to $a+1$ on $[a+\tfrac12,a+1).$ The first interval $[0,\tfrac12)$ is exceptional, but it contributes no intersection with $y=\frac{x}{n}.$

Counting the oscillations, on the intervals $[a, a + \tfrac12)$ and $[a + \tfrac12, a+1)$ the curve $y = f(g(x))$ meets the line $y = \tfrac{x}{n}$ a total of $2a$ and $2(a+1)$ times. Summing over $a = 0, \ldots, n-1$ gives $\sum_{a=0}^{n-1}\bigl(2a + 2(a+1)\bigr) = 2n^2$ real solutions.

The smallest $n$ with $2n^2 \ge 2012$ is $n = 32,$ since $2 \cdot 31^2 = 1922$ and $2 \cdot 32^2 = 2048.$

Thus, the correct answer is C.

Problemas del 2012 AMC 12A

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 970

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Pista grande: