Question

Mary divide un círculo en $12$ sectores. Los ángulos centrales de estos sectores, medidos en grados, son todos enteros y forman una progresión aritmética. ¿Cuál es la medida en grados del menor ángulo de sector posible?

Mary divides a circle into $12$ sectors. The central angles of these sectors, measured in degrees, are all integers and they form an arithmetic sequence. What is the degree measure of the smallest possible sector angle?

$5$

$6$

$8$

$10$

$12$

Solución:

Sea $a$ el ángulo más pequeño y $d \ge 0$ la diferencia común. La suma de los ángulos es $12a + 66d = 360,$ así que $2a + 11d = 60$ .

Para hacer $a$ pequeño, toma $d$ grande. Como $11d$ debe ser par, $d$ es par, y $d = 4$ da $2a = 60 - 44 = 16,$ así que $a = 8.$ Un $d$ par mayor hace que $a$ sea no positivo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a$ be the smallest angle and $d \ge 0$ the common difference. The sum of the angles is $12a + 66d = 360,$ so $2a + 11d = 60.$

To make $a$ small, take $d$ large. Since $11d$ must be even, $d$ is even, and $d = 4$ gives $2a = 60 - 44 = 16,$ so $a = 8.$ A larger even $d$ makes $a$ non-positive.

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años