Question

La mayoría de los $30$ estudiantes de la clase de la Sra. Demeanor compraron lápices en la librería de la escuela. Cada uno de estos estudiantes compró la misma cantidad de lápices, y esta cantidad era mayor que $1.$ El costo de un lápiz en centavos era mayor que la cantidad de lápices que compró cada estudiante, y el costo total de todos los lápices fue $\$17.71.$ ¿Cuál era el costo de un lápiz en centavos?

A majority of the $30$ students in Ms. Demeanor's class bought pencils at the school bookstore. Each of these students bought the same number of pencils, and this number was greater than $1.$ The cost of a pencil in cents was greater than the number of pencils each student bought, and the total cost of all the pencils was $\$17.71.$ What was the cost of a pencil in cents?

$7$

$11$

$17$

$23$

$77$

Solución:

El total en centavos es $1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23.$ Escribiendo (estudiantes)(lápices por persona)(costo por lápiz) $= 1771,$ la cantidad de estudiantes es un divisor de $1771$ que es una mayoría de $30,$ por lo tanto más de $15.$ El único divisor así es $23.$

Entonces (lápices)(costo) $= 77 = 7 \cdot 11$ con costo $\gt$ lápices $\gt 1,$ lo que obliga a $7$ lápices a $11$ centavos cada uno.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Total cents is $1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23.$ Writing (students)(pencils each)(cost per pencil) $= 1771,$ the number of students is a divisor of $1771$ that is a majority of $30,$ hence more than $15.$ The only such divisor is $23.$

Then (pencils)(cost) $= 77 = 7 \cdot 11$ with cost $\gt$ pencils $\gt 1,$ forcing $7$ pencils at $11$ cents each.

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años