Question

Josh escribe los números $1,2,3,\ldots,99,100.$ Tacha $1,$ salta el siguiente número $(2),$ tacha $3,$ y sigue saltando y tachando el siguiente número hasta el final de su lista. Luego vuelve al principio de su lista, tacha el primer número que queda $(2),$ salta el siguiente número $(4),$ tacha $6,$ salta $8,$ tacha $10,$ y así sucesivamente hasta el final. Josh continúa de esta manera hasta que solo queda un número. ¿Cuál es ese número?

Josh writes the numbers $1,2,3,\ldots,99,100.$ He marks out $1,$ skips the next number $(2),$ marks out $3,$ and continues skipping and marking out the next number to the end of his list. Then he goes back to the start of his list, marks out the first remaining number $(2),$ skips the next number $(4),$ marks out $6,$ skips $8,$ marks out $10,$ and so on to the end. Josh continues in this manner until only one number remains. What is that number?

$13$

$32$

$56$

$64$

$96$

Solución:

La primera pasada elimina los números impares y deja los múltiplos de $2.$ La segunda pasada elimina $2,6,10,\ldots,$ dejando los múltiplos de $4.$ En general, después de la $n$ -ésima pasada solo quedan los múltiplos de $2^n$ . El número que sobrevive es la mayor potencia de $2$ que no excede $100,$ que es $2^6=64.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first pass removes the odd numbers, leaving the multiples of $2.$ The second pass removes $2,6,10,\ldots,$ leaving the multiples of $4.$ In general, after the $n$ th pass only the multiples of $2^n$ remain. The surviving number is the highest power of $2$ not exceeding $100,$ which is $2^6=64.$

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 12B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años