Question

Todos los lados del pentágono convexo $ABCDE$ tienen la misma longitud, y $\angle A=\angle B=90^\circ.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle E$ ?

All sides of the convex pentagon $ABCDE$ are of equal length, and $\angle A=\angle B=90^\circ.$ What is the degree measure of $\angle E?$

$90$

$108$

$120$

$144$

$150$

Respuesta: E

Conceptos:triángulo equilátero cuadrado (geometría)suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Los lados $AB,BC,EA$ y los dos ángulos rectos hacen que $ABCE$ sea un cuadrado.

The sides $AB,BC,EA$ and the two right angles make $ABCE$ a square

Pista grande:

Entonces $\triangle CDE$ es equilátero, y $\angle E=\angle AEC+\angle CED$ .

Then $\triangle CDE$ is equilateral, and $\angle E=\angle AEC+\angle CED$

Solución:

Como $AB=BC=EA$ y $\angle A=\angle B=90^\circ,$ el cuadrilátero $ABCE$ es un cuadrado, así que $\angle AEC=90^\circ$ y $EC$ es igual a la longitud del lado común.

Entonces $CD=DE=EC,$ así que $\triangle CDE$ es equilátero y $\angle CED=60^\circ.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} \angle E&=\angle AEC+\angle CED \\ &=90^\circ+60^\circ \\ &=150^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because $AB=BC=EA$ and $\angle A=\angle B=90^\circ,$ quadrilateral $ABCE$ is a square, so $\angle AEC=90^\circ$ and $EC$ equals the common side length.

Then $CD=DE=EC,$ so $\triangle CDE$ is equilateral and $\angle CED=60^\circ.$ Therefore $\begin{aligned} \angle E&=\angle AEC+\angle CED \\ &=90^\circ+60^\circ \\ &=150^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

2007 AMC 12B Problema 7

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años