Question

Define una función en los enteros positivos de manera recursiva por $f(1)=2,$ $f(n)=f(n-1)+1$ si $n$ es par, y $f(n)=f(n-2)+2$ si $n$ es impar y mayor que $1.$ ¿Cuánto vale $f(2017)$ ?

Define a function on the positive integers recursively by $f(1)=2,$ $f(n)=f(n-1)+1$ if $n$ is even, and $f(n)=f(n-2)+2$ if $n$ is odd and greater than $1.$ What is $f(2017)?$

$2017$

$2018$

$4034$

$4035$

$4036$

Solución:

Listando valores: $f(1)=2,$ $f(2)=f(1)+1=3,$ $f(3)=f(1)+2=4,$ $f(4)=f(3)+1=5,$ lo que sugiere $f(n)=n+1.$

Ambas reglas son consistentes con $f(n)=n+1:$ para $n$ par, $(n-1)+1+1=n+1,$ y para $n$ impar, $(n-2)+1+2=n+1.$ Como la recursión determina $f$ de manera única, $f(2017)=2018.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Listing values: $f(1)=2,$ $f(2)=f(1)+1=3,$ $f(3)=f(1)+2=4,$ $f(4)=f(3)+1=5,$ suggesting $f(n)=n+1.$

Both rules are consistent with $f(n)=n+1:$ for even $n,$ $(n-1)+1+1=n+1,$ and for odd $n,$ $(n-2)+1+2=n+1.$ Since the recursion determines $f$ uniquely, $f(2017)=2018.$

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años