Question

En $\triangle ABC,$ $\angle ABC=90^\circ$ y $BA=BC=\sqrt2.$ Los puntos $P_1,P_2,\ldots,P_{2024}$ están sobre la hipotenusa $AC$ de modo que $AP_1=P_1P_2$ $=P_2P_3$ $=\cdots$ $=P_{2023}P_{2024}$ $=P_{2024}C.$

¿Cuál es la longitud de la siguiente suma vectorial? $\begin{aligned} &\vec{BP_1}+\vec{BP_2}+\vec{BP_3} \\ &\quad {}+\cdots+\vec{BP_{2024}}? \end{aligned}$

In $\triangle ABC,$ $\angle ABC=90^\circ$ and $BA=BC=\sqrt2.$ Points $P_1,P_2,\ldots,P_{2024}$ lie on hypotenuse $AC$ so that $AP_1=P_1P_2$ $=P_2P_3$ $=\cdots$ $=P_{2023}P_{2024}$ $=P_{2024}C.$

What is the length of the vector sum $\begin{aligned} &\vec{BP_1}+\vec{BP_2}+\vec{BP_3} \\ &\quad {}+\cdots+\vec{BP_{2024}}? \end{aligned}$

$1011$

$1012$

$2023$

$2024$

$2025$

Solución:

Los puntos $P_k$ son simétricos respecto al punto medio $M$ de $AC,$ así que emparejar $P_k$ con su reflejo da $\vec{BP_k}+\vec{BP_{2025-k}}=2\,\vec{BM}.$ Por lo tanto la suma completa es $2024\,\vec{BM}.$ En un triángulo rectángulo la mediana a la hipotenusa tiene longitud igual a la mitad de la hipotenusa; aquí $AC=2,$ así que $BM=1.$ La longitud de la suma es $2024\cdot1=2024.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The points $P_k$ are symmetric about the midpoint $M$ of $AC,$ so pairing $P_k$ with its mirror gives $\vec{BP_k}+\vec{BP_{2025-k}}=2\,\vec{BM}.$ Hence the whole sum is $2024\,\vec{BM}.$ In a right triangle the median to the hypotenuse has length half the hypotenuse; here $AC=2,$ so $BM=1.$ The length of the sum is $2024\cdot1=2024.$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años