Question

¿Cuál es el menor valor posible de $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ para números reales $x$ y $y$ ?

What is the least possible value of $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ for real numbers $x$ and $y?$

$0$

$\dfrac14$

$\dfrac12$

$1$

$2$

Solución:

Desarrollando, $\begin{aligned} &(xy-1)^2 + (x+y)^2 \\ &= x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 \\ &\quad {}+ 2xy + y^2 \\ &= x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{aligned}$ Esto se factoriza como $(x^2 + 1)(y^2 + 1)$ .

Cada factor es al menos $1$ , así que el producto es al menos $1$ , con igualdad cuando $x = y = 0$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Expanding, $\begin{aligned} &(xy-1)^2 + (x+y)^2 \\ &= x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 \\ &\quad {}+ 2xy + y^2 \\ &= x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{aligned}$ This factors as $(x^2 + 1)(y^2 + 1).$

Each factor is at least $1,$ so the product is at least $1,$ with equality when $x = y = 0.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años