Question

Una pantalla digital muestra la fecha actual como un entero de $8$ dígitos que consta de un año de $4$ dígitos, seguido de un mes de $2$ dígitos, seguido del día del mes de $2$ dígitos. Por ejemplo, el Día del Árbol de este año se muestra como $20230428.$ ¿Para cuántas fechas de $2023$ aparecerá cada dígito un número par de veces en la pantalla de $8$ dígitos de esa fecha?

A digital display shows the current date as an $8$ -digit integer consisting of a $4$ -digit year, followed by a $2$ -digit month, followed by a $2$ -digit date within the month. For example, Arbor Day this year is displayed as $20230428.$ For how many dates in $2023$ will each digit appear an even number of times in the $8$ -digit display for that date?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Solución:

El año aporta los dígitos $2,0,2,3,$ así que $2$ aparece dos veces mientras que $0$ y $3$ aparecen una vez cada uno. Para que cada dígito termine con una cantidad par, los cuatro dígitos del mes y el día deben aportar una cantidad impar de $0$ , una cantidad impar de $3$ , y una cantidad par de cada otro dígito.

Con solo cuatro dígitos disponibles, la cadena de mes y día debe usar exactamente un $0,$ un $3,$ y un par repetido de algún dígito. Al revisar los meses y días válidos quedan nueve fechas: $01\text{-}13,$ $01\text{-}31,$ $02\text{-}23,$ $03\text{-}11,$ $03\text{-}22,$ $10\text{-}13,$ $10\text{-}31,$ $11\text{-}03,$ y $11\text{-}30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The year contributes the digits $2,0,2,3,$ so $2$ appears twice while $0$ and $3$ each appear once. For every digit to end up with an even count, the four digits of the month and day must supply an odd number of $0$ 's, an odd number of $3$ 's, and an even number of every other digit.

With only four digits available, the month-day string must use exactly one $0,$ one $3,$ and a repeated pair of some digit. Checking valid months and days leaves nine dates: $01\text{-}13,$ $01\text{-}31,$ $02\text{-}23,$ $03\text{-}11,$ $03\text{-}22,$ $10\text{-}13,$ $10\text{-}31,$ $11\text{-}03,$ and $11\text{-}30.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años