Question

Los puntos $A$ y $B$ están en la gráfica de $y=\log_2 x.$ El punto medio de $\overline{AB}$ es $(6,2).$ ¿Cuál es la diferencia positiva entre las coordenadas $x$ de $A$ y $B$ ?

Points $A$ and $B$ lie on the graph of $y=\log_2 x.$ The midpoint of $\overline{AB}$ is $(6,2).$ What is the positive difference between the $x$ -coordinates of $A$ and $B?$

$2\sqrt{11}$

$4\sqrt{3}$

$8$

$4\sqrt{5}$

$9$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo punto medio manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Las coordenadas $x$ suman $2\cdot 6=12$

The $x$ -coordinates sum to $2\cdot 6=12$

Pista grande:

Las coordenadas $y$ promedian $2,$ así que $\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,$ lo que da $x_1x_2=16$

The $y$ -coordinates average to $2,$ so $\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,$ giving $x_1x_2=16$

Solución:

Sean $x_1$ y $x_2$ las coordenadas $x.$ El punto medio da $x_1+x_2=12,$ y el promedio de los valores $y$ da $\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,$ así que $x_1x_2=2^4=16.$

Entonces $\begin{gathered} |x_1-x_2|\\ {}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ {}=\sqrt{144-64}\\ {}=\sqrt{80}\\ {}=4\sqrt5. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the $x$ -coordinates be $x_1$ and $x_2.$ The midpoint gives $x_1+x_2=12,$ and the average of the $y$ -values gives $\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,$ so $x_1x_2=2^4=16.$

Then $\begin{gathered} |x_1-x_2|\\ {}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ {}=\sqrt{144-64}\\ {}=\sqrt{80}\\ {}=4\sqrt5. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12A Problema 6

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años