Question

Un número de teléfono tiene la forma $ABC - DEF - GHIJ,$ donde cada letra representa un dígito diferente. Los dígitos en cada parte del número están en orden decreciente; es decir, $A \gt B \gt C,$ $D \gt E \gt F,$ y $G \gt H \gt I \gt J.$ Además, $D,$ $E,$ y $F$ son dígitos pares consecutivos; $G,$ $H,$ $I,$ y $J$ son dígitos impares consecutivos; y $A + B + C = 9.$ Halla $A.$

A telephone number has the form $ABC - DEF - GHIJ,$ where each letter represents a different digit. The digits in each part of the number are in decreasing order; that is, $A \gt B \gt C,$ $D \gt E \gt F,$ and $G \gt H \gt I \gt J.$ Furthermore, $D,$ $E,$ and $F$ are consecutive even digits; $G,$ $H,$ $I,$ and $J$ are consecutive odd digits; and $A + B + C = 9.$ Find $A.$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Solución:

Los cuatro dígitos impares consecutivos decrecientes $GHIJ$ son $9753$ o $7531,$ dejando un dígito impar ( $1$ o $9$ ) para $ABC.$

Como $A + B + C = 9$ y los otros dos dígitos de $ABC$ son pares, el dígito impar debe ser $1$ (un $9$ obligaría a que los dos dígitos pares sumaran $0$ ). Así que los dos dígitos pares suman $8.$

Los tres dígitos pares consecutivos decrecientes $DEF$ son $864,$ $642,$ o $420,$ dejando los pares de dígitos pares $\{2, 0\},$ $\{8, 0\},$ o $\{8, 6\}$ para $ABC.$ Solo $\{8, 0\}$ suma $8,$ así que $ABC = 810$ y $A = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The four consecutive decreasing odd digits $GHIJ$ are either $9753$ or $7531,$ leaving one odd digit ( $1$ or $9$ ) for $ABC.$

Since $A + B + C = 9$ and the other two digits of $ABC$ are even, the odd digit must be $1$ (a $9$ would force the two even digits to sum to $0$ ). So the two even digits sum to $8.$

The three consecutive decreasing even digits $DEF$ are $864,$ $642,$ or $420,$ leaving the even pairs $\{2, 0\},$ $\{8, 0\},$ or $\{8, 6\}$ for $ABC.$ Only $\{8, 0\}$ sums to $8,$ so $ABC = 810$ and $A = 8.$

Thus, the correct answer is E.

2001 AMC 12 Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años