Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2001 AMC 12 Problema 5

Intenta el Problema 5 del 2001 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

5.

¿Cuál es el producto de todos los enteros positivos impares menores que 10,00010{,}000?

What is the product of all positive odd integers less than 10,000?10{,}000?

10000!(5000!)2\dfrac{10000!}{(5000!)^2}

10000!25000\dfrac{10000!}{2^{5000}}

9999!25000\dfrac{9999!}{2^{5000}}

10000!25000⋅5000!\dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}

5000!25000\dfrac{5000!}{2^{5000}}

Respuesta: D
Conceptos:factorialmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1370
Pista pequeña:

El producto de todos los números impares es igual a 10000!10000! dividido entre el producto de todos los números pares hasta 1000010000

The product of all odd numbers equals 10000!10000! divided by the product of all even numbers up to 1000010000

Pista grande:

Los números pares son 2⋅4⋯100002 \cdot 4 \cdots 10000 =25000(1⋅2⋯5000)= 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000)

The even numbers are 2⋅4⋯100002 \cdot 4 \cdots 10000 =25000(1⋅2⋯5000)= 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000)

Solución:

El producto de todos los enteros de 11 a 1000010000 es 10000!,10000!, así que el producto de los impares es 10000!10000! dividido entre el producto de los pares.

Los números pares se factorizan como 2⋅4⋯10000=25000(1⋅2⋯5000)=25000⋅5000!. \begin{gathered} 2 \cdot 4 \cdots 10000 \\ = 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000) \\ = 2^{5000} \cdot 5000!. \end{gathered}

En consecuencia, el producto de los enteros impares es 10000!25000⋅5000!. \dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The product of every integer from 11 to 1000010000 is 10000!,10000!, so the product of the odd ones is 10000!10000! divided by the product of the even ones.

The even numbers factor as 2⋅4⋯10000=25000(1⋅2⋯5000)=25000⋅5000!. \begin{gathered} 2 \cdot 4 \cdots 10000 \\ = 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000) \\ = 2^{5000} \cdot 5000!. \end{gathered}

Therefore the product of the odd integers is 10000!25000⋅5000!. \dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}.

Thus, the correct answer is D.

Problema 4#4
Examen completo
Problema 6#6

El Problema 5 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B