Question

¿Cuál es el producto de todos los enteros positivos impares menores que $10{,}000$ ?

What is the product of all positive odd integers less than $10{,}000?$

$\dfrac{10000!}{(5000!)^2}$

$\dfrac{10000!}{2^{5000}}$

$\dfrac{9999!}{2^{5000}}$

$\dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}$

$\dfrac{5000!}{2^{5000}}$

Solución:

El producto de todos los enteros de $1$ a $10000$ es $10000!,$ así que el producto de los impares es $10000!$ dividido entre el producto de los pares.

Los números pares se factorizan como $\begin{gathered} 2 \cdot 4 \cdots 10000 \\ = 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000) \\ = 2^{5000} \cdot 5000!. \end{gathered}$

En consecuencia, el producto de los enteros impares es $\dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The product of every integer from $1$ to $10000$ is $10000!,$ so the product of the odd ones is $10000!$ divided by the product of the even ones.

The even numbers factor as $\begin{gathered} 2 \cdot 4 \cdots 10000 \\ = 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000) \\ = 2^{5000} \cdot 5000!. \end{gathered}$

Therefore the product of the odd integers is $\dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 12 Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años