Question

En una reunión de $30$ personas, hay $20$ personas que se conocen todas entre sí y $10$ personas que no conocen a nadie. Las personas que se conocen se abrazan, y las que no se conocen se dan la mano. ¿Cuántos apretones de manos ocurren?

At a gathering of $30$ people, there are $20$ people who all know each other and $10$ people who know no one. People who know each other hug, and people who do not know each other shake hands. How many handshakes occur?

$240$

$245$

$290$

$480$

$490$

Solución:

Cada una de las $20$ personas que se conocen da la mano solo a los $10$ desconocidos. Cada uno de los $10$ desconocidos da la mano a las otras $29$ personas.

Sumando los apretones de manos y dividiendo entre $2$ (cada apretón involucra a dos personas) se obtiene $\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}(20\cdot10+10\cdot29) \\ &=\dfrac{1}{2}(200+290)=245. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each of the $20$ people who know each other shakes hands with only the $10$ strangers. Each of the $10$ strangers shakes hands with all $29$ other people.

Summing handshake counts and dividing by $2$ (each handshake involves two people) gives $\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}(20\cdot10+10\cdot29) \\ &=\dfrac{1}{2}(200+290)=245. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12A Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años