Question

En la siguiente expresión, Melanie cambió algunos de los signos más por signos menos:

$1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99$

Cuando se evaluó la nueva expresión, resultó negativa. ¿Cuál es el menor número de signos más que Melanie pudo haber cambiado por signos menos?

In the following expression, Melanie changed some of the plus signs to minus signs:

$1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99$

When the new expression was evaluated, it was negative. What is the least number of plus signs that Melanie could have changed to minus signs?

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética optimización

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

La suma original es $1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500;$ cambiar de signo un término de valor $v$ reduce el total en $2v$ .

The original sum is $1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500;$ flipping a term of value $v$ lowers the total by $2v$

Pista grande:

Para llegar a ser negativa, los términos cambiados de signo deben sumar más de $1250;$ cambia primero los números impares más grandes, donde los $k$ mayores suman $k(100-k)$ .

To go negative the flipped terms must total more than $1250;$ flip the largest odd numbers first, where the largest $k$ of them sum to $k(100-k)$

Solución:

La expresión original suma los primeros $50$ números impares, dando $50^2 = 2500.$ Cambiar un término de valor $v$ de $+$ a $-$ disminuye el total en $2v,$ así que para que el resultado sea negativo los términos cambiados de signo deben sumar más de $\dfrac{2500}{2} = 1250.$

Para usar la menor cantidad posible de términos, cambia de signo los números impares más grandes $99, 97, 95, \ldots$ Los $k$ mayores suman $k(100 - k).$ Con $k = 14$ esto es $14 \cdot 86 = 1204 \le 1250,$ pero con $k = 15$ es $15 \cdot 85 = 1275 \gt 1250.$ Así que $15$ cambios de signo bastan y $14$ no.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The original expression sums the first $50$ odd numbers, giving $50^2 = 2500.$ Changing a term of value $v$ from $+$ to $-$ decreases the total by $2v,$ so to make the result negative the flipped terms must total more than $\dfrac{2500}{2} = 1250.$

To use as few terms as possible, flip the largest odd numbers $99, 97, 95, \ldots$ The largest $k$ of them sum to $k(100 - k).$ With $k = 14$ this is $14 \cdot 86 = 1204 \le 1250,$ but with $k = 15$ it is $15 \cdot 85 = 1275 \gt 1250.$ So $15$ sign changes suffice and $14$ do not.

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B Problema 5

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años