Question

Cada uno de los círculos pequeños de la figura tiene radio uno. El círculo más interior es tangente a los seis círculos que lo rodean, y cada uno de esos círculos es tangente al círculo grande y a sus círculos pequeños vecinos. Halle el área de la región sombreada.

Each of the small circles in the figure has radius one. The innermost circle is tangent to the six circles that surround it, and each of those circles is tangent to the large circle and to its small-circle neighbors. Find the area of the shaded region.

$\pi$

$1.5\pi$

$2\pi$

$3\pi$

$3.5\pi$

Solución:

Cada uno de los seis círculos unitarios exteriores es tangente al círculo unitario central, así que su centro está a $2$ unidades del centro. Sumando un radio más, el círculo grande tiene radio $3$ y área $9\pi.$

Los siete círculos unitarios tienen área total $7\pi,$ así que la región sombreada tiene área $9\pi - 7\pi = 2\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each of the six outer unit circles is tangent to the central unit circle, so its center is $2$ units from the center. Adding one more radius, the large circle has radius $3$ and area $9\pi.$

The seven unit circles have total area $7\pi,$ so the shaded region has area $9\pi - 7\pi = 2\pi.$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años