Question

Cuando un estudiante multiplicó el número $66$ por el decimal periódico $1.\overline{ab} = 1.ababab\ldots,$ donde $a$ y $b$ son dígitos, no notó la notación y simplemente multiplicó $66$ por el decimal finito $1.ab$ . Más tarde descubrió que su respuesta era $0.5$ menor que la respuesta correcta.

¿Cuál es el entero de dos dígitos $\overline{ab}$ ?

When a student multiplied the number $66$ by the repeating decimal $1.\overline{ab} = 1.ababab\ldots,$ where $a$ and $b$ are digits, he did not notice the notation and just multiplied $66$ by the terminating decimal $1.ab.$ Later he found that his answer was $0.5$ less than the correct answer.

What is the two-digit integer $\overline{ab}?$

$15$

$30$

$45$

$60$

$75$

Solución:

Sea $n = \overline{ab}$ el entero de dos dígitos. Entonces $1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{n}{99}$ , mientras que el valor finito es $1.ab = 1 + \dfrac{n}{100}$ . El producto correcto menos el producto del estudiante es $\begin{aligned} &66\left(\frac{n}{99} - \frac{n}{100}\right) \\ &= 66 \cdot \frac{n}{9900} = \frac{n}{150}. \end{aligned}$

Al hacer $\dfrac{n}{150} = 0.5$ se obtiene $n = 75$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $n = \overline{ab}$ be the two-digit integer. Then $1.\overline{ab} = 1 + \dfrac{n}{99}$ while the terminating value is $1.ab = 1 + \dfrac{n}{100}.$ The correct product minus the student's product is $\begin{aligned} &66\left(\frac{n}{99} - \frac{n}{100}\right) \\ &= 66 \cdot \frac{n}{9900} = \frac{n}{150}. \end{aligned}$

Setting $\dfrac{n}{150} = 0.5$ gives $n = 75.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Spring Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años