Question

Los enteros positivos $x$ y $y$ satisfacen la ecuación $57x + 22y = 400.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $x + y$ ?

Positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $57x + 22y = 400.$ What is the least possible value of $x + y?$

$10$

$11$

$13$

$14$

$15$

Respuesta: E

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Reduce $57x + 22y = 400$ módulo $22$ para determinar $x$ .

Reduce $57x + 22y = 400$ modulo $22$ to pin down $x$

Pista grande:

Como $x$ es positivo y $57x \lt 400,$ solo son posibles unos pocos valores de $x$ .

Since $x$ is positive and $57x \lt 400,$ only a few values of $x$ are possible

Solución:

Módulo $22,$ la ecuación da $13x \equiv 4,$ así que $x \equiv 2 \pmod{22}.$ Con $57x \lt 400,$ la única opción es $x = 2,$ lo que da $22y = 286,$ por lo que $y = 13.$ Entonces $x + y = 15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Modulo $22,$ the equation gives $13x \equiv 4,$ so $x \equiv 2 \pmod{22}.$ With $57x \lt 400,$ the only option is $x = 2,$ which gives $22y = 286,$ so $y = 13.$ Then $x + y = 15.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12B Problema 5

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años