Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2025 AMC 12B Problema 6

Intenta el Problema 6 del 2025 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2025 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

6.

Emmy le dice a Max: “Hoy encargué 3636 sudaderas del club de matemáticas.” Max pregunta: “¿Cuánto costó cada camiseta?” Emmy responde: “Te doy una pista. El costo total fue $A‾ B‾ B‾.B‾ A‾,\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A}, donde AA y BB son dígitos y A≠0.A \neq 0.” Tras una pausa, Max dice: “Fue un buen precio.” ¿Cuánto vale A+BA + B?

Emmy says to Max, “I ordered 3636 math club sweatshirts today.” Max asks, “How much did each shirt cost?” Emmy responds, “I’ll give you a hint. The total cost was $A‾ B‾ B‾.B‾ A‾,\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A}, where AA and BB are digits and A≠0.A \neq 0.” After a pause, Max says, “That was a good price.” What is A+B?A + B?

77

88

1111

1414

1515

Respuesta: C
Conceptos:valor posicionaldivisibilidadaritmética modular
Nivel de dificultad: 1390
Pista pequeña:

En centavos, el total es 10001A+1110B,10001A + 1110B, y debe ser divisible entre 3636.

In cents the total is 10001A+1110B,10001A + 1110B, and it must be divisible by 3636

Pista grande:

Reduce módulo 3636 para obtener 7A+6B≡0,7A + 6B \equiv 0, y luego prueba dígitos con A≠0A \neq 0.

Reduce modulo 3636 to get 7A+6B≡0,7A + 6B \equiv 0, then test digits with A≠0A \neq 0

Solución:

El total en centavos es 10000A+1110B+A10000A + 1110B + A =10001A+1110B,= 10001A + 1110B, que debe ser múltiplo de 36.36. Como 10001≡2910001 \equiv 29 y 1110≡30(mod36),1110 \equiv 30 \pmod{36}, la condición es 29A+30B≡0,29A + 30B \equiv 0, es decir, 7A+6B≡0(mod36).7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}. Al reducir de nuevo módulo 66, obtenemos A≡0(mod6),A\equiv0\pmod6, así que el único dígito no nulo posible es A=6.A=6. Entonces 42+6B42+6B es divisible entre 3636 solo para el dígito B=5.B=5. En efecto, $655.56=36×$18.21,\$655.56 = 36 \times \$18.21, de modo que A+B=11.A+B=11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total in cents is 10000A+1110B+A10000A + 1110B + A =10001A+1110B,= 10001A + 1110B, which must be a multiple of 36.36. Since 10001≡2910001 \equiv 29 and 1110≡30(mod36),1110 \equiv 30 \pmod{36}, the condition is 29A+30B≡0,29A + 30B \equiv 0, i.e. 7A+6B≡0(mod36).7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}. Reducing once more modulo 66 gives A≡0(mod6),A\equiv0\pmod6, so the only possible nonzero digit is A=6.A=6. Then 42+6B42+6B is divisible by 3636 only for the digit B=5.B=5. Indeed $655.56=36×$18.21,\$655.56 = 36 \times \$18.21, so A+B=11.A+B=11.

Thus, the correct answer is C.

Problema 5#5
Examen completo
Problema 7#7

El Problema 6 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A