Question

La diferencia entre un número de dos dígitos y el número que se obtiene al invertir sus dígitos es $5$ veces la suma de los dígitos de cualquiera de los dos números. ¿Cuál es la suma del número de dos dígitos y su inverso?

The difference between a two-digit number and the number obtained by reversing its digits is $5$ times the sum of the digits of either number. What is the sum of the two-digit number and its reverse?

$44$

$55$

$77$

$99$

$110$

Solución:

Sea el número mayor $10a+b$ , entonces $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)\\ &\quad{}=5(a+b), \end{aligned}$ lo que se simplifica a $2a=7b$ .

Los únicos dígitos no nulos que satisfacen esto son $a=7$ y $b=2$ , así que el número es $72$ y su inverso es $27$ .

Su suma es $72+27=99$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the larger number be $10a+b.$ Then $\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)\\ &\quad{}=5(a+b), \end{aligned}$ which simplifies to $2a=7b.$

The only nonzero digits satisfying this are $a=7$ and $b=2,$ so the number is $72$ and its reverse is $27.$

Their sum is $72+27=99.$

Thus, the correct answer is D.

2014 AMC 12A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años