Question

La deuda nacional de Estados Unidos va camino de alcanzar $5 \cdot 10^{13}$ dólares para $2033.$ ¿Cuántos dígitos tiene este número de dólares cuando se escribe como un numeral en base $5$ ? (La aproximación de $\log_{10} 5$ como $0.7$ es suficiente para este problema.)

The national debt of the United States is on track to reach $5 \cdot 10^{13}$ dollars by $2033.$ How many digits does this number of dollars have when written as a numeral in base $5?$ (The approximation of $\log_{10} 5$ as $0.7$ is sufficient for this problem.)

$18$

$20$

$22$

$24$

$26$

Solución:

El número de dígitos de $N$ en base $5$ es $\lfloor \log_5 N \rfloor + 1.$ Con $N = 5 \cdot 10^{13},$ $\log_{10} N = 13 + \log_{10} 5 = 13.7.$ Cambiando de base, $\log_5 N$ $= \dfrac{13.7}{\log_{10} 5}$ $= \dfrac{13.7}{0.7}$ $= 19.57\ldots$

Así el número de dígitos es $\lfloor 19.57 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The number of digits of $N$ in base $5$ is $\lfloor \log_5 N \rfloor + 1.$ With $N = 5 \cdot 10^{13},$ $\log_{10} N = 13 + \log_{10} 5 = 13.7.$ Converting bases, $\log_5 N$ $= \dfrac{13.7}{\log_{10} 5}$ $= \dfrac{13.7}{0.7}$ $= 19.57\ldots$

Thus the number of digits is $\lfloor 19.57 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20.$

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años