Question

Los números reales $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34.$ ¿Cuánto vale $x+y$ ?

Real numbers $x$ and $y$ satisfy the equation $x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34.$ What is $x+y?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Mueve todos los términos a un lado y completa el cuadrado tanto en $x$ como en $y$ .

Move every term to one side and complete the square in both $x$ and $y$

Pista grande:

Una suma de dos cuadrados igual a $0$ obliga a que cada cuadrado sea $0$ .

A sum of two squares equal to $0$ forces each square to be $0$

Solución:

Reordenando se obtiene $x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9$ $= 0,$ es decir $(x-5)^2 + (y+3)^2 = 0.$ Por lo tanto $x = 5$ y $y = -3,$ así que $x + y = 2.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rearranging gives $x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9$ $= 0,$ that is $(x-5)^2 + (y+3)^2 = 0.$ Hence $x = 5$ and $y = -3,$ so $x + y = 2.$ Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B Problema 6

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años