Question

Para números reales positivos $x$ e $y$ , se define $x*y=\frac{x\cdot y}{x+y};$ entonces

For positive real numbers $x$ and $y$ define $x*y=\frac{x\cdot y}{x+y};$ then

“ $*$ ” es conmutativa, pero no asociativa

“ $*$ ” is commutative but not associative

“ $*$ ” es asociativa, pero no conmutativa

“ $*$ ” is associative but not commutative

“ $*$ ” no es conmutativa ni asociativa

“ $*$ ” is neither commutative nor associative

“ $*$ ” es conmutativa y asociativa

“ $*$ ” is commutative and associative

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

La fórmula no cambia al intercambiar $x$ e $y$

The formula is visibly unchanged when $x$ and $y$ are interchanged

Pista grande:

Reescribe la operación mediante su recíproco: $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y$

Rewrite the operation through its reciprocal: $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y$

Solución:

La simetría en $x,$ $y$ hace que la operación sea conmutativa. Además, $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y.$ Así, tanto $(x*y)*z$ como $x*(y*z)$ tienen por recíproco $\frac1x+\frac1y+\frac1z,$ por lo que son iguales. La operación también es asociativa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Symmetry in $x,$ $y$ makes the operation commutative. Also, $\frac1{x*y}=\frac1x+\frac1y.$ Thus both $(x*y)*z$ and $x*(y*z)$ have reciprocal $\frac1x+\frac1y+\frac1z,$ so they are equal. The operation is associative too.

Therefore, the correct answer is D.

1974 AMC 12 Problema 6

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años