Question

La figura de abajo muestra la recta $\ell$ con un patrón regular, infinito y recurrente de cuadrados y segmentos.

¿Cuántos de los siguientes cuatro tipos de transformaciones de movimiento rígido del plano en el que está dibujada esta figura, distintas de la transformación identidad, llevan esta figura sobre sí misma?

• alguna rotación alrededor de un punto de la recta $\ell$

• alguna traslación en la dirección paralela a la recta $\ell$

• la reflexión respecto a la recta $\ell$

• alguna reflexión respecto a una recta perpendicular a la recta $\ell$

The figure below shows line $\ell$ with a regular, infinite, recurring pattern of squares and line segments.

How many of the following four kinds of rigid motion transformations of the plane in which this figure is drawn, other than the identity transformation, will transform this figure into itself?

• some rotation around a point of line $\ell$

• some translation in the direction parallel to line $\ell$

• the reflection across line $\ell$

• some reflection across a line perpendicular to line $\ell$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Una traslación de un período completo lleva la figura sobre sí misma, así que la traslación funciona.

Una rotación de $180^\circ$ alrededor de un punto adecuado sobre $\ell$ envía cada cuadrado por encima de la recta al cuadrado por debajo de ella, y los segmentos diagonales coinciden, así que esta rotación funciona.

La reflexión respecto a $\ell$ envía las diagonales de arriba a la derecha a diagonales de arriba a la derecha por debajo de la recta, pero las diagonales reales por debajo de la recta apuntan hacia abajo a la izquierda, así que falla. Una reflexión respecto a una recta perpendicular falla por la misma razón. Solo $2$ de las cuatro transformaciones funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A translation by one full period maps the figure to itself, so translation works.

A $180^\circ$ rotation about a suitable point on $\ell$ sends each square above the line to the square below it, with the diagonal segments matching, so this rotation works.

Reflection across $\ell$ sends the top-right diagonals to top-right diagonals below the line, but the actual below-line diagonals point to the bottom-left, so it fails. A reflection across a perpendicular line fails for the same reason. Only $2$ of the four transformations work.

Thus, the correct answer is C.

2019 AMC 12A Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años