Question

Melanie calcula la media $\mu,$ la mediana $M,$ y las modas de los $365$ valores que son las fechas de los meses de $2019.$ Así, sus datos consisten en $12$ números $1$ , $12$ números $2$ , $\ldots,$ $12$ números $28$ , $11$ números $29$ , $11$ números $30$ y $7$ números $31$ . Sea $d$ la mediana de las modas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Melanie computes the mean $\mu,$ the median $M,$ and the modes of the $365$ values that are the dates in the months of $2019.$ Thus her data consist of $12$ $1$ s, $12$ $2$ s, $\ldots,$ $12$ $28$ s, $11$ $29$ s, $11$ $30$ s, and $7$ $31$ s. Let $d$ be the median of the modes. Which of the following statements is true?

$\mu \lt d \lt M$

$M \lt d \lt \mu$

$d = M = \mu$

$d \lt M \lt \mu$

$d \lt \mu \lt M$

Solución:

Los valores $1$ hasta $28$ aparecen cada uno $12$ veces y son las modas, así que $d = \dfrac{14 + 15}{2} = 14.5.$

El $183$ -ésimo de los $365$ valores ordenados es la mediana. Los valores $1$ hasta $15$ ocupan las primeras $180$ posiciones, así que la posición $183$ es $16;$ por lo tanto $M = 16.$

El total de todos los valores es $12(1 + \cdots + 28)$ $+ 11(29 + 30)$ $+ 7 \cdot 31 = 5738,$ así que $\mu = \dfrac{5738}{365} \approx 15.7.$

Por lo tanto $d \lt \mu \lt M.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The values $1$ through $28$ each appear $12$ times and are the modes, so $d = \dfrac{14 + 15}{2} = 14.5.$

The $183$ rd of the $365$ ordered values is the median. Values $1$ through $15$ fill the first $180$ positions, so position $183$ is $16;$ thus $M = 16.$

The total of all values is $12(1 + \cdots + 28)$ $+ 11(29 + 30)$ $+ 7 \cdot 31 = 5738,$ so $\mu = \dfrac{5738}{365} \approx 15.7.$

Therefore $d \lt \mu \lt M.$

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años