Question

Las funciones $\sin(x)$ y $\cos(x)$ son periódicas con período mínimo $2\pi.$ ¿Cuál es el período mínimo de la función $\cos(\sin(x))$ ?

The functions $\sin(x)$ and $\cos(x)$ are periodic with least period $2\pi.$ What is the least period of the function $\cos(\sin(x))?$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\pi$

$2\pi$

$4\pi$

No es periódica.

It's not periodic.

Solución:

Como $\cos(\sin(x + \pi))$ $= \cos(-\sin(x))$ $= \cos(\sin(x)),$ la función tiene período $\pi.$ No puede ser menor: $\cos(\sin(x)) = 1$ exactamente cuando $\sin(x) = 0,$ lo que ocurre solo en los múltiplos enteros de $\pi,$ de modo que los máximos están separados por $\pi.$ El período mínimo es $\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $\cos(\sin(x + \pi))$ $= \cos(-\sin(x))$ $= \cos(\sin(x)),$ the function has period $\pi.$ It cannot be smaller: $\cos(\sin(x)) = 1$ exactly when $\sin(x) = 0,$ which happens only at integer multiples of $\pi,$ so the maxima are spaced $\pi$ apart. The least period is $\pi.$

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años