Question

Dos rectas del plano de coordenadas $xy$ , ninguna horizontal ni vertical, se intersecan formando un ángulo de $45^\circ$ . Una recta tiene pendiente igual a $6$ veces la pendiente de la otra. ¿Cuál es el mayor valor posible del producto de las pendientes de las dos rectas?

Two nonhorizontal, non-vertical lines in the $xy$ -coordinate plane intersect to form a $45^\circ$ angle. One line has slope equal to $6$ times the slope of the other line. What is the greatest possible value of the product of the slopes of the two lines?

$\dfrac16$

$\dfrac23$

$\dfrac32$

$3$

$6$

Respuesta: C

Conceptos:pendiente cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

La tangente del ángulo entre rectas de pendientes $m_1, m_2$ es $\left|\dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ .

The tangent of the angle between lines of slopes $m_1, m_2$ is $\left|\dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$

Pista grande:

Con pendientes $m$ y $6m,$ plantea $\left|\dfrac{5m}{1 + 6m^2}\right| = 1$ y maximiza $6m^2$ .

With slopes $m$ and $6m,$ set $\left|\dfrac{5m}{1 + 6m^2}\right| = 1$ and maximize $6m^2$

Solución:

Sean las pendientes $m$ y $6m.$ El ángulo entre las rectas cumple $\left|\frac{6m - m}{1 + 6m^2}\right| = \tan 45^\circ = 1,$ así que $5m = \pm(1 + 6m^2),$ lo que da $6m^2 - 5m + 1 = 0$ o $6m^2 + 5m + 1 = 0.$

La primera da $m = \tfrac12$ o $m = \tfrac13;$ la segunda da los opuestos de estos. El producto de las pendientes es $6m^2,$ que es máximo cuando $m = \tfrac12,$ dando $6 \cdot \tfrac14 = \tfrac32.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the slopes be $m$ and $6m.$ The angle between the lines satisfies $\left|\frac{6m - m}{1 + 6m^2}\right| = \tan 45^\circ = 1,$ so $5m = \pm(1 + 6m^2),$ giving $6m^2 - 5m + 1 = 0$ or $6m^2 + 5m + 1 = 0.$

The first yields $m = \tfrac12$ or $m = \tfrac13;$ the second yields the negatives of these. The product of the slopes is $6m^2,$ which is largest when $m = \tfrac12,$ giving $6 \cdot \tfrac14 = \tfrac32.$

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 12B Problema 7

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años