Question

Camila escribe cinco enteros positivos. La moda única de estos enteros es $2$ mayor que su mediana, y la mediana es $2$ mayor que su media aritmética. ¿Cuál es el menor valor posible de la moda?

Camila writes down five positive integers. The unique mode of these integers is $2$ greater than their median, and the median is $2$ greater than their arithmetic mean. What is the least possible value for the mode?

$5$

$7$

$9$

$11$

$13$

Solución:

Ordena los números de forma creciente con mediana $m.$ La moda es $m + 2 \gt m,$ así que solo puede aparecer entre las dos entradas mayores; para que sea la moda única, ambas deben ser iguales a $m + 2.$

La media es $m - 2,$ así que el total es $5(m-2).$ Con los dos mayores iguales a $m + 2$ y la mediana $m,$ los dos menores suman $5(m-2) - m - 2(m+2)$ $= 2m - 14.$

Los dos menores son enteros positivos distintos, así que $2m - 14 \ge 1 + 2 = 3,$ lo que da $m \ge 9.$ Con $m = 9$ la lista $1, 3, 9, 11, 11$ funciona, así que la menor moda es $m + 2 = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

List the numbers in increasing order with median $m.$ The mode is $m + 2 \gt m,$ so it can only occur among the two largest entries; for it to be the unique mode, both of them must equal $m + 2.$

The mean is $m - 2,$ so the total is $5(m-2).$ With the two largest equal to $m + 2$ and the median $m,$ the two smallest sum to $5(m-2) - m - 2(m+2)$ $= 2m - 14.$

The two smallest are distinct positive integers, so $2m - 14 \ge 1 + 2 = 3,$ giving $m \ge 9.$ With $m = 9$ the list $1, 3, 9, 11, 11$ works, so the least mode is $m + 2 = 11.$

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12B Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años