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Soluciones del 2022 AMC 12B

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Se define x⋄yx \diamond y como ∣x−y∣|x - y| para todos los números reales xx e y.y. ¿Cuál es el valor de
(1⋄(2⋄3))−((1⋄2)⋄3)?(1 \diamond (2 \diamond 3)) - ((1 \diamond 2) \diamond 3)?
Define x⋄yx \diamond y to be ∣x−y∣|x - y| for all real numbers xx and y.y. What is the value of
(1⋄(2⋄3))−((1⋄2)⋄3)?(1 \diamond (2 \diamond 3)) - ((1 \diamond 2) \diamond 3)?
−2-2
−1-1
00
11
22
Conceptos:operación personalizadavalor absolutoorden de las operaciones
Nivel de dificultad: 890
Pista pequeña:
Evalúa primero el ⋄\diamond interior, usando a⋄b=∣a−b∣a \diamond b = |a-b|.
Evaluate the inner ⋄\diamond first, using a⋄b=∣a−b∣a \diamond b = |a-b|
Pista grande:
Calcula por separado 1⋄(2⋄3)1 \diamond (2 \diamond 3) y (1⋄2)⋄3(1 \diamond 2) \diamond 3, y luego resta.
Compute 1⋄(2⋄3)1 \diamond (2 \diamond 3) and (1⋄2)⋄3(1 \diamond 2) \diamond 3 separately, then subtract
Solución:
Como 2⋄3=∣2−3∣=1,2 \diamond 3 = |2-3| = 1, obtenemos 1⋄(2⋄3)=1⋄1=0.1 \diamond (2 \diamond 3) = 1 \diamond 1 = 0.
Como 1⋄2=∣1−2∣=1,1 \diamond 2 = |1-2| = 1, obtenemos (1⋄2)⋄3=1⋄3=∣1−3∣=2.(1 \diamond 2) \diamond 3 = 1 \diamond 3 = |1-3| = 2.
El valor es 0−2=−2.0 - 2 = -2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Since 2⋄3=∣2−3∣=1,2 \diamond 3 = |2-3| = 1, we get 1⋄(2⋄3)=1⋄1=0.1 \diamond (2 \diamond 3) = 1 \diamond 1 = 0.
Since 1⋄2=∣1−2∣=1,1 \diamond 2 = |1-2| = 1, we get (1⋄2)⋄3=1⋄3=∣1−3∣=2.(1 \diamond 2) \diamond 3 = 1 \diamond 3 = |1-3| = 2.
The value is 0−2=−2.0 - 2 = -2.
Thus, the correct answer is A.

2.

En el rombo ABCD,ABCD, el punto PP está en el segmento AD‾\overline{AD} de modo que BP‾⊥AD‾,\overline{BP} \perp \overline{AD}, AP=3,AP = 3, y PD=2.PD = 2. ¿Cuál es el área de ABCDABCD? (Nota: la figura no está dibujada a escala.)
In rhombus ABCD,ABCD, point PP lies on segment AD‾\overline{AD} so that BP‾⊥AD‾,\overline{BP} \perp \overline{AD}, AP=3,AP = 3, and PD=2.PD = 2. What is the area of ABCD?ABCD? (Note: the figure is not drawn to scale.)
353\sqrt5
1010
656\sqrt5
2020
2525
Conceptos:romboTeorema de Pitágorasárea
Nivel de dificultad: 1020
Pista pequeña:
El lado del rombo es AD=AP+PDAD = AP + PD.
The side length of the rhombus is AD=AP+PDAD = AP + PD
Pista grande:
En el triángulo rectángulo APB,APB, halla BP,BP, y luego usa área =AD⋅BP= AD \cdot BP.
In right triangle APB,APB, find BP,BP, then use area =AD⋅BP= AD \cdot BP
Solución:
El lado es AD=AP+PD=5,AD = AP + PD = 5, así que AB=5.AB = 5. En el triángulo rectángulo APB,APB, BP=AB2−AP2=25−9=4. \begin{aligned} BP &= \sqrt{AB^2 - AP^2} \\ &= \sqrt{25 - 9} = 4. \end{aligned}
Tomando ADAD como base y BPBP como altura, el área es AD⋅BP=5⋅4=20.AD \cdot BP = 5 \cdot 4 = 20.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The side length is AD=AP+PD=5,AD = AP + PD = 5, so AB=5.AB = 5. In right triangle APB,APB, BP=AB2−AP2=25−9=4. \begin{aligned} BP &= \sqrt{AB^2 - AP^2} \\ &= \sqrt{25 - 9} = 4. \end{aligned}
Taking ADAD as the base and BPBP as the height, the area is AD⋅BP=5⋅4=20.AD \cdot BP = 5 \cdot 4 = 20.
Thus, the correct answer is D.

3.

¿Cuántos de los diez primeros números de la sucesión 121,121, 11211,11211, 1112111,1112111, …\ldots son primos?
How many of the first ten numbers of the sequence 121,121, 11211,11211, 1112111,1112111, …\ldots are prime numbers?
00
11
22
33
44
Conceptos:factorizaciónprimo
Nivel de dificultad: 1350
Pista pequeña:
Busca una factorización de cada término en dos enteros ambos mayores que 11.
Look for a factorization of each term into two integers both greater than 11
Pista grande:
Intenta escribir un término como un repunit por un número de la forma 10n+1,10^n + 1, por ejemplo 11211=111⋅10111211 = 111 \cdot 101.
Try writing a term as a repunit times a number of the form 10n+1,10^n + 1, for example 11211=111⋅10111211 = 111 \cdot 101
Solución:
El nn-ésimo término consta de nn unos, luego un 2,2, y luego nn unos. Se factoriza como un repunit por un número de la forma 10n+1:10^n + 1: 121=11⋅11,11211=111⋅101,1112111=1111⋅1001, \begin{aligned} &121 = 11 \cdot 11, \\ &\quad 11211 = 111 \cdot 101, \\ &\quad 1112111 = 1111 \cdot 1001, \end{aligned} y en general el nn-ésimo término es igual a 1⋯1⏟n+1⋅(10n+1).\underbrace{1\cdots1}_{n+1} \cdot (10^n + 1).
Para todo n≥1n \ge 1 ambos factores son mayores que 1,1, por lo que cada término es compuesto. Ninguno de los diez números es primo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The nnth term consists of nn ones, then a 2,2, then nn ones. It factors as a repunit times a number of the form 10n+1:10^n + 1: 121=11⋅11,11211=111⋅101,1112111=1111⋅1001, \begin{aligned} &121 = 11 \cdot 11, \\ &\quad 11211 = 111 \cdot 101, \\ &\quad 1112111 = 1111 \cdot 1001, \end{aligned} and in general the nnth term equals 1⋯1⏟n+1⋅(10n+1).\underbrace{1\cdots1}_{n+1} \cdot (10^n + 1).
For every n≥1n \ge 1 both factors exceed 1,1, so every term is composite. None of the ten numbers is prime.
Thus, the correct answer is A.

4.

¿Para cuántos valores de la constante kk el polinomio x2+kx+36x^2 + kx + 36 tiene dos raíces enteras distintas?
For how many values of the constant kk will the polynomial x2+kx+36x^2 + kx + 36 have two distinct integer roots?
66
88
99
1414
1616
Conceptos:Fórmulas de Vietafactorenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 1200
Pista pequeña:
Si las raíces son pp y q,q, entonces pq=36pq = 36 y k=−(p+q)k = -(p+q).
If the roots are pp and q,q, then pq=36pq = 36 and k=−(p+q)k = -(p+q)
Pista grande:
Cuenta los pares de factores no ordenados de 3636 con dos enteros distintos, incluyendo los negativos.
Count the ordered-independent factor pairs of 3636 with two distinct integers, including negatives
Solución:
Si las raíces son los enteros pp y q,q, entonces pq=36pq = 36 y k=−(p+q).k = -(p+q). Las raíces distintas deben tener el mismo signo, así que listamos los pares de factores de 3636 con p≠q.p \ne q.
Los pares positivos son (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(1,36), (2,18), (3,12), (4,9), y los pares negativos son (−1,−36),(-1,-36), (−2,−18),(-2,-18), (−3,−12),(-3,-12), (−4,−9).(-4,-9). El par (6,6)(6,6) se excluye porque las raíces deben ser distintas.
Cada uno de estos 88 pares da un valor distinto de k.k.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
If the roots are integers pp and q,q, then pq=36pq = 36 and k=−(p+q).k = -(p+q). Distinct roots must have the same sign, so we list factor pairs of 3636 with p≠q.p \ne q.
The positive pairs are (1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(1,36), (2,18), (3,12), (4,9), and the negative pairs are (−1,−36),(-1,-36), (−2,−18),(-2,-18), (−3,−12),(-3,-12), (−4,−9).(-4,-9). The pair (6,6)(6,6) is excluded since the roots must be distinct.
Each of these 88 pairs gives a different value of k.k.
Thus, the correct answer is B.

5.

El punto (−1,−2)(-1, -2) se rota 270∘270^\circ en sentido antihorario alrededor del punto (3,1).(3, 1). ¿Cuáles son las coordenadas de su nueva posición?
The point (−1,−2)(-1, -2) is rotated 270∘270^\circ counterclockwise about the point (3,1).(3, 1). What are the coordinates of its new position?
(−3,−4)(-3, -4)
(0,5)(0, 5)
(2,−1)(2, -1)
(4,3)(4, 3)
(6,−3)(6, -3)
Conceptos:transformacióngeometría analítica
Nivel de dificultad: 1200
Pista pequeña:
Traslada de modo que el centro de rotación sea el origen, rota y luego traslada de vuelta.
Translate so the center of rotation is the origin, rotate, then translate back
Pista grande:
Una rotación de 270∘270^\circ en sentido antihorario envía (x,y)(x, y) a (y,−x)(y, -x).
A 270∘270^\circ counterclockwise rotation sends (x,y)(x, y) to (y,−x)(y, -x)
Solución:
Respecto al centro (3,1),(3, 1), el punto está en (−1−3, −2−1)=(−4,−3).(-1 - 3,\, -2 - 1) = (-4, -3).
Una rotación de 270∘270^\circ en sentido antihorario envía (x,y)(x, y) a (y,−x),(y, -x), así que (−4,−3)(-4, -3) se convierte en (−3,4).(-3, 4).
Al trasladar de vuelta se obtiene (3−3, 1+4)=(0,5).(3 - 3,\, 1 + 4) = (0, 5).
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Relative to the center (3,1),(3, 1), the point is at (−1−3, −2−1)=(−4,−3).(-1 - 3,\, -2 - 1) = (-4, -3).
A 270∘270^\circ counterclockwise rotation sends (x,y)(x, y) to (y,−x),(y, -x), so (−4,−3)(-4, -3) becomes (−3,4).(-3, 4).
Translating back gives (3−3, 1+4)=(0,5).(3 - 3,\, 1 + 4) = (0, 5).
Thus, the correct answer is B.

6.

Considera los siguientes 100100 conjuntos de 1010 elementos cada uno:
{1,2,3,…,10},\{1,2,3,\ldots,10\}, {11,12,13,…,20},\{11,12,13,\ldots,20\}, {21,22,23,…,30},\{21,22,23,\ldots,30\}, ⋮\vdots {991,992,993,…,1000}.\{991,992,993,\ldots,1000\}.
¿Cuántos de estos conjuntos contienen exactamente dos múltiplos de 77?
Consider the following 100100 sets of 1010 elements each:
{1,2,3,…,10},\{1,2,3,\ldots,10\}, {11,12,13,…,20},\{11,12,13,\ldots,20\}, {21,22,23,…,30},\{21,22,23,\ldots,30\}, ⋮\vdots {991,992,993,…,1000}.\{991,992,993,\ldots,1000\}.
How many of these sets contain exactly two multiples of 7?7?
4040
4242
4343
4949
5050
Conceptos:múltiploconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 1350
Pista pequeña:
Un bloque de 1010 enteros consecutivos contiene uno o dos múltiplos de 77.
A block of 1010 consecutive integers contains either one or two multiples of 77
Pista grande:
Cuenta el total de múltiplos de 77 en {1,…,1000},\{1,\ldots,1000\}, y luego supón que xx bloques tienen dos y 100−x100-x tienen uno.
Count the total multiples of 77 in {1,…,1000},\{1,\ldots,1000\}, then let xx blocks have two and 100−x100-x have one
Solución:
Entre 11 y 10001000 hay ⌊10007⌋=142\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142 múltiplos de 7.7. Como 10>7,10 \gt 7, cada bloque de 1010 enteros consecutivos contiene uno o dos múltiplos de 7.7.
Si xx bloques contienen dos y los restantes 100−x100 - x contienen uno, entonces 2x+(100−x)=142,2x + (100 - x) = 142, así que x=42.x = 42.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Among 11 to 10001000 there are ⌊10007⌋=142\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142 multiples of 7.7. Because 10>7,10 \gt 7, each block of 1010 consecutive integers contains one or two multiples of 7.7.
If xx blocks contain two and the remaining 100−x100 - x contain one, then 2x+(100−x)=142,2x + (100 - x) = 142, so x=42.x = 42.
Thus, the correct answer is B.

7.

Camila escribe cinco enteros positivos. La moda única de estos enteros es 22 mayor que su mediana, y la mediana es 22 mayor que su media aritmética. ¿Cuál es el menor valor posible de la moda?
Camila writes down five positive integers. The unique mode of these integers is 22 greater than their median, and the median is 22 greater than their arithmetic mean. What is the least possible value for the mode?
55
77
99
1111
1313
Conceptos:modamediana (datos)mediaoptimización
Nivel de dificultad: 1380
Pista pequeña:
La moda supera a la mediana, así que solo puede aparecer entre los dos números más grandes.
The mode exceeds the median, so it can only appear among the two largest numbers
Pista grande:
Sea la mediana m;m; para que la moda sea única, los dos mayores deben ser ambos iguales a m+2,m+2, y la suma es 5(m−2)5(m-2).
Let the median be m;m; for a unique mode the two largest must both equal m+2,m+2, and the sum is 5(m−2)5(m-2)
Solución:
Ordena los números de forma creciente con mediana m.m. La moda es m+2>m,m + 2 \gt m, así que solo puede aparecer entre las dos entradas mayores; para que sea la moda única, ambas deben ser iguales a m+2.m + 2.
La media es m−2,m - 2, así que el total es 5(m−2).5(m-2). Con los dos mayores iguales a m+2m + 2 y la mediana m,m, los dos menores suman 5(m−2)−m−2(m+2)5(m-2) - m - 2(m+2) =2m−14.= 2m - 14.
Los dos menores son enteros positivos distintos, así que 2m−14≥1+2=3,2m - 14 \ge 1 + 2 = 3, lo que da m≥9.m \ge 9. Con m=9m = 9 la lista 1,3,9,11,111, 3, 9, 11, 11 funciona, así que la menor moda es m+2=11.m + 2 = 11.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
List the numbers in increasing order with median m.m. The mode is m+2>m,m + 2 \gt m, so it can only occur among the two largest entries; for it to be the unique mode, both of them must equal m+2.m + 2.
The mean is m−2,m - 2, so the total is 5(m−2).5(m-2). With the two largest equal to m+2m + 2 and the median m,m, the two smallest sum to 5(m−2)−m−2(m+2)5(m-2) - m - 2(m+2) =2m−14.= 2m - 14.
The two smallest are distinct positive integers, so 2m−14≥1+2=3,2m - 14 \ge 1 + 2 = 3, giving m≥9.m \ge 9. With m=9m = 9 the list 1,3,9,11,111, 3, 9, 11, 11 works, so the least mode is m+2=11.m + 2 = 11.
Thus, the correct answer is D.

8.

¿Cuál es la gráfica de y4+1=x4+2y2y^4 + 1 = x^4 + 2y^2 en el plano de coordenadas?
What is the graph of y4+1=x4+2y2y^4 + 1 = x^4 + 2y^2 in the coordinate plane?
dos parábolas que se cortan
two intersecting parabolas
dos parábolas que no se cortan
two nonintersecting parabolas
dos circunferencias que se cortan
two intersecting circles
una circunferencia y una hipérbola
a circle and a hyperbola
una circunferencia y dos parábolas
a circle and two parabolas
Conceptos:diferencia de cuadradoscírculohipérbola
Nivel de dificultad: 1440
Pista pequeña:
Pasa todo a un lado para obtener (y2−1)2=(x2)2(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2.
Move everything to one side to get (y2−1)2=(x2)2(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2
Pista grande:
Factoriza como diferencia de cuadrados, lo que da dos ecuaciones separadas.
Factor as a difference of squares, giving two separate equations
Solución:
Reordenando, y4−2y2+1=x4,y^4 - 2y^2 + 1 = x^4, así que (y2−1)2=(x2)2.(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2. Esto se factoriza como (y2−1−x2)(y2−1+x2)=0. (y^2 - 1 - x^2)(y^2 - 1 + x^2) = 0.
Así, o bien y2−x2=1,y^2 - x^2 = 1, que es una hipérbola, o bien x2+y2=1,x^2 + y^2 = 1, que es una circunferencia.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Rearranging, y4−2y2+1=x4,y^4 - 2y^2 + 1 = x^4, so (y2−1)2=(x2)2.(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2. This factors as (y2−1−x2)(y2−1+x2)=0. (y^2 - 1 - x^2)(y^2 - 1 + x^2) = 0.
Thus either y2−x2=1,y^2 - x^2 = 1, which is a hyperbola, or x2+y2=1,x^2 + y^2 = 1, which is a circle.
Thus, the correct answer is D.

9.

La sucesión a0,a_0, a1,a_1, a2,a_2, ⋯\cdots es una progresión aritmética estrictamente creciente de enteros positivos tal que 2a7=227⋅a7.2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7. ¿Cuál es el mínimo valor posible de a2a_2?
The sequence a0,a_0, a1,a_1, a2,a_2, ⋯\cdots is a strictly increasing arithmetic sequence of positive integers such that 2a7=227⋅a7.2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7. What is the minimum possible value of a2?a_2?
88
1212
1616
1717
2222
Conceptos:sucesión aritméticaexponenteoptimización
Nivel de dificultad: 1530
Pista pequeña:
Divide ambos lados entre 2272^{27} para obtener 2a7−27=a72^{a_7 - 27} = a_7.
Divide both sides by 2272^{27} to get 2a7−27=a72^{a_7 - 27} = a_7
Pista grande:
Después de hallar a7,a_7, escribe a2=a7−5da_2 = a_7 - 5d y haz la diferencia común dd lo más grande posible.
After finding a7,a_7, write a2=a7−5da_2 = a_7 - 5d and make the common difference dd as large as possible
Solución:
Al dividir entre 227,2^{27}, necesitamos 2a7−27=a7.2^{a_7 - 27} = a_7. Por tanto, a7=2ja_7=2^j y 2j−j=27,2^j-j=27, donde j=a7−27≥0.j=a_7-27\ge0. El lado izquierdo es estrictamente creciente para j≥1,j\ge1, y j=5j=5 funciona, así que de manera única a7=32.a_7=32.
Con diferencia común d≥1,d \ge 1, tenemos a7=a0+7d=32a_7 = a_0 + 7d = 32 y a2=a0+2d=32−5d.a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d. Para minimizar a2a_2, maximizamos d;d; como a0=32−7d≥1,a_0 = 32 - 7d \ge 1, la mayor opción es d=4d = 4 (que da a0=4a_0 = 4).
Entonces a2=32−20=12.a_2 = 32 - 20 = 12.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Dividing by 227,2^{27}, we need 2a7−27=a7.2^{a_7 - 27} = a_7. Thus a7=2ja_7=2^j and 2j−j=27,2^j-j=27, where j=a7−27≥0.j=a_7-27\ge0. The left side is strictly increasing for j≥1,j\ge1, and j=5j=5 works, so uniquely a7=32.a_7=32.
With common difference d≥1,d \ge 1, we have a7=a0+7d=32a_7 = a_0 + 7d = 32 and a2=a0+2d=32−5d.a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d. To minimize a2a_2 we maximize d;d; since a0=32−7d≥1,a_0 = 32 - 7d \ge 1, the largest choice is d=4d = 4 (giving a0=4a_0 = 4).
Then a2=32−20=12.a_2 = 32 - 20 = 12.
Thus, the correct answer is B.

10.

El hexágono regular ABCDEFABCDEF tiene lado 2.2. Sea GG el punto medio de AB‾,\overline{AB}, y sea HH el punto medio de DE‾.\overline{DE}. ¿Cuál es el perímetro de GCHFGCHF?
Regular hexagon ABCDEFABCDEF has side length 2.2. Let GG be the midpoint of AB‾,\overline{AB}, and let HH be the midpoint of DE‾.\overline{DE}. What is the perimeter of GCHF?GCHF?
434\sqrt3
88
454\sqrt5
474\sqrt7
1212
Conceptos:polígono regularfórmula de la distanciageometría analítica
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
Coloca el hexágono en coordenadas con su centro en el origen.
Place the hexagon on coordinates with its center at the origin
Pista grande:
Por simetría, los cuatro lados de GCHFGCHF son iguales; calcula una distancia con la fórmula de la distancia.
By symmetry all four sides of GCHFGCHF are equal; compute one distance with the distance formula
Solución:
Coloca el hexágono con centro en el origen: A=(−1,3),A = (-1, \sqrt3), B=(1,3),B = (1, \sqrt3), C=(2,0),C = (2, 0), D=(1,−3),D = (1, -\sqrt3), E=(−1,−3),E = (-1, -\sqrt3), F=(−2,0).F = (-2, 0).
Entonces G=(0,3)G = (0, \sqrt3) y H=(0,−3).H = (0, -\sqrt3). Por simetría, los cuatro lados de GCHFGCHF son iguales, y GC=22+(3)2=7. GC = \sqrt{2^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt7.
El perímetro es 47.4\sqrt7.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Place the hexagon with center at the origin: A=(−1,3),A = (-1, \sqrt3), B=(1,3),B = (1, \sqrt3), C=(2,0),C = (2, 0), D=(1,−3),D = (1, -\sqrt3), E=(−1,−3),E = (-1, -\sqrt3), F=(−2,0).F = (-2, 0).
Then G=(0,3)G = (0, \sqrt3) and H=(0,−3).H = (0, -\sqrt3). By symmetry all four sides of GCHFGCHF are equal, and GC=22+(3)2=7. GC = \sqrt{2^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt7.
The perimeter is 47.4\sqrt7.
Thus, the correct answer is D.

11.

Sea f(n)=(−1+i32)n+(−1−i32)n, \begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned} donde i=−1.i = \sqrt{-1}. ¿Cuánto vale f(2022)f(2022)?
Let f(n)=(−1+i32)n+(−1−i32)n, \begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned} where i=−1.i = \sqrt{-1}. What is f(2022)?f(2022)?
−2-2
−1-1
00
3\sqrt3
22
Conceptos:raíces de la unidadnúmero complejo
Nivel de dificultad: 1570
Pista pequeña:
Las dos bases son las raíces cúbicas primitivas de la unidad, ω\omega y ω2\omega^2.
The two bases are the primitive cube roots of unity, ω\omega and ω2\omega^2
Pista grande:
Entonces f(n)=ωn+ω−n;f(n) = \omega^n + \omega^{-n}; reduce el exponente 20222022 módulo 33.
Then f(n)=ωn+ω−n;f(n) = \omega^n + \omega^{-n}; reduce the exponent 20222022 modulo 33
Solución:
Las dos bases son las raíces cúbicas primitivas de la unidad, ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} y su conjugada ω2=e−2πi3.\omega^2 = e^{-\frac{2\pi i}{3}}. Así, f(n)=ωn+ω−n=2cos⁡2πn3.f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}.
Como 20222022 es múltiplo de 3,3, ω2022=1,\omega^{2022} = 1, así que f(2022)=1+1=2.f(2022) = 1 + 1 = 2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The two bases are the primitive cube roots of unity, ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} and its conjugate ω2=e−2πi3.\omega^2 = e^{-\frac{2\pi i}{3}}. So f(n)=ωn+ω−n=2cos⁡2πn3.f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}.
Since 20222022 is a multiple of 3,3, ω2022=1,\omega^{2022} = 1, so f(2022)=1+1=2.f(2022) = 1 + 1 = 2.
Thus, the correct answer is E.

12.

Kayla lanza cuatro dados justos de 66 caras. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los números que obtiene sea mayor que 44 y al menos dos de los números que obtiene sean mayores que 22?
Kayla rolls four fair 66-sided dice. What is the probability that at least one of the numbers Kayla rolls is greater than 44 and at least two of the numbers she rolls are greater than 2?2?
23\dfrac{2}{3}
1927\dfrac{19}{27}
5981\dfrac{59}{81}
6181\dfrac{61}{81}
79\dfrac{7}{9}
Conceptos:dados (probabilidad)conteo complementarioinclusión-exclusión
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Clasifica cada dado en bajo {1,2},\{1,2\}, medio {3,4},\{3,4\}, o alto {5,6},\{5,6\}, cada uno con probabilidad 13\tfrac13.
Sort each die into low {1,2},\{1,2\}, mid {3,4},\{3,4\}, or high {5,6},\{5,6\}, each with probability 13\tfrac13
Pista grande:
Necesitas al menos un dado alto y al menos dos dados que no sean bajos; cuenta los patrones de categorías buenos de entre 343^4.
You need at least one high die and at least two dice that are not low; count the good category patterns out of 343^4
Solución:
Clasifica cada dado en bajo {1,2},\{1,2\}, medio {3,4},\{3,4\}, o alto {5,6};\{5,6\}; cada uno tiene probabilidad 13,\tfrac13, así que los 34=813^4 = 81 patrones de categorías son equiprobables.
Necesitamos al menos un dado alto (un número mayor que 44) y al menos dos dados que sean mayores que 22 (medio o alto). Los dos eventos malos son no tener ningún dado alto y tener a lo sumo un dado no bajo.
Hay 24=162^4 = 16 patrones sin ningún dado alto, 99 patrones con a lo sumo un dado no bajo, y 55 patrones que no tienen ni un dado alto ni dos dados no bajos. Por inclusión-exclusión, el número de patrones buenos es 81−16−9+5=61.81 - 16 - 9 + 5 = 61.
La probabilidad es 6181.\dfrac{61}{81}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Sort each die into low {1,2},\{1,2\}, mid {3,4},\{3,4\}, or high {5,6};\{5,6\}; each has probability 13,\tfrac13, so the 34=813^4 = 81 category patterns are equally likely.
We need at least one high die (a number greater than 44) and at least two dice that are greater than 22 (mid or high). The two bad events are having no high die and having at most one non-low die.
There are 24=162^4 = 16 patterns of the first kind, 99 of the second kind, and 55 in their intersection. By inclusion-exclusion the count of good patterns is 81−16−9+5=61.81 - 16 - 9 + 5 = 61.
The probability is 6181.\dfrac{61}{81}.
Thus, the correct answer is D.

13.

El diagrama de abajo muestra un rectángulo de lados 44 y 88 y un cuadrado de lado 5.5. Tres vértices del cuadrado están sobre tres lados diferentes del rectángulo, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región que está dentro tanto del cuadrado como del rectángulo?
The diagram below shows a rectangle with side lengths 44 and 88 and a square with side length 5.5. Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?
151815\dfrac18
153815\dfrac38
151215\dfrac12
155815\dfrac58
157815\dfrac78
Conceptos:geometría analíticadescomposición de áreasTerna pitagórica
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Establece coordenadas; la inclinación del cuadrado forma triángulos rectángulos 33-44-55 en las esquinas.
Set up coordinates; the tilt of the square makes 33-44-55 right triangles at the corners
Pista grande:
Todo el cuadrado está dentro del rectángulo salvo un triángulo que sobresale por el borde superior; resta ese triángulo de 2525.
The whole square lies inside the rectangle except one triangle sticking out past the top edge; subtract that triangle from 2525
Solución:
Coloca el rectángulo como [0,8]×[0,4].[0,8] \times [0,4]. El cuadrado inclinado, usando los triángulos rectángulos 33-44-55, tiene vértices (4,0),(4, 0), (0,3),(0, 3), (3,7),(3, 7), y (7,4).(7, 4).
Todo el cuadrado está dentro del rectángulo salvo el triángulo que sobresale por encima del borde superior y=4.y = 4. Ese triángulo tiene vértices (0.75,4),(0.75, 4), (3,7),(3, 7), y (7,4),(7, 4), con área 12⋅(7−0.75)⋅(7−4)=758. \dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.
La región que está en ambos es 25−758=1258=1558.25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Place the rectangle as [0,8]×[0,4].[0,8] \times [0,4]. The tilted square, using the 33-44-55 right triangles, has vertices (4,0),(4, 0), (0,3),(0, 3), (3,7),(3, 7), and (7,4).(7, 4).
The entire square lies inside the rectangle except for the triangle poking above the top edge y=4.y = 4. That triangle has vertices (0.75,4),(0.75, 4), (3,7),(3, 7), and (7,4),(7, 4), with area 12⋅(7−0.75)⋅(7−4)=758. \dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.
The region inside both is 25−758=1258=1558.25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58.
Thus, the correct answer is D.

14.

La gráfica de y=x2+2x−15y = x^2 + 2x - 15 corta al eje xx en los puntos AA y CC y al eje yy en el punto B.B. ¿Cuánto vale tan⁡(∠ABC)\tan(\angle ABC)?
The graph of y=x2+2x−15y = x^2 + 2x - 15 intersects the xx-axis at points AA and CC and the yy-axis at point B.B. What is tan⁡(∠ABC)?\tan(\angle ABC)?
17\dfrac17
14\dfrac14
37\dfrac37
12\dfrac12
47\dfrac47
Conceptos:geometría analíticavectortrigonometría
Nivel de dificultad: 1570
Pista pequeña:
Factoriza para hallar las intersecciones: AA y CC en el eje xx, BB en el eje yy.
Factor to find the intercepts: AA and CC on the xx-axis, BB on the yy-axis
Pista grande:
Con los vectores BA⃗\vec{BA} y BC⃗,\vec{BC}, usa tan⁡θ=∣BA⃗×BC⃗∣BA⃗⋅BC⃗\tan\theta = \dfrac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}.
With vectors BA⃗\vec{BA} and BC⃗,\vec{BC}, use tan⁡θ=∣BA⃗×BC⃗∣BA⃗⋅BC⃗\tan\theta = \dfrac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}
Solución:
Factorizando, x2+2x−15=(x+5)(x−3),x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3), así que A=(−5,0)A = (-5, 0) y C=(3,0),C = (3, 0), y la intersección con el eje yy es B=(0,−15).B = (0, -15).
Entonces BA⃗=(−5,15)\vec{BA} = (-5, 15) y BC⃗=(3,15).\vec{BC} = (3, 15). Usando los productos vectorial y escalar, tan⁡(∠ABC)=∣(−5)(15)−(15)(3)∣(−5)(3)+(15)(15)=120210=47. \begin{gathered} \tan(\angle ABC) = \scriptsize \dfrac{|(-5)(15) - (15)(3)|}{(-5)(3) + (15)(15)} \\ = \dfrac{120}{210} \\ = \dfrac47. \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Factoring, x2+2x−15=(x+5)(x−3),x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3), so A=(−5,0)A = (-5, 0) and C=(3,0),C = (3, 0), and the yy-intercept is B=(0,−15).B = (0, -15).
Then BA⃗=(−5,15)\vec{BA} = (-5, 15) and BC⃗=(3,15).\vec{BC} = (3, 15). Using the cross and dot products, tan⁡(∠ABC)=∣(−5)(15)−(15)(3)∣(−5)(3)+(15)(15)=120210=47. \begin{gathered} \tan(\angle ABC) = \scriptsize \dfrac{|(-5)(15) - (15)(3)|}{(-5)(3) + (15)(15)} \\ = \dfrac{120}{210} \\ = \dfrac47. \end{gathered}
Thus, the correct answer is E.

15.

Uno de los siguientes números no es divisible por ningún número primo menor que 10.10. ¿Cuál es?
One of the following numbers is not divisible by any prime number less than 10.10. Which is it?
2606−12^{606} - 1
2606+12^{606} + 1
2607−12^{607} - 1
2607+12^{607} + 1
2607+36072^{607} + 3^{607}
Conceptos:aritmética modularorden multiplicativodivisibilidad
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:
Los cinco números son impares, así que prueba la divisibilidad solo por 3,5,3, 5, y 77.
All five numbers are odd, so test divisibility only by 3,5,3, 5, and 77
Pista grande:
Usa los ciclos de 2n2^n módulo 3,5,7:3, 5, 7: por ejemplo 2n≡1(mod3)2^n \equiv 1 \pmod 3 cuando nn es par.
Use the cycles of 2n2^n modulo 3,5,7:3, 5, 7: for example 2n≡1(mod3)2^n \equiv 1 \pmod 3 when nn is even
Solución:
Toda opción es impar, así que solo hay que verificar los primos 3,5,73, 5, 7.
Opción A: 2606≡1(mod3),2^{606} \equiv 1 \pmod 3, así que 2606−12^{606} - 1 es divisible por 3.3. Opción B: 2606≡4(mod5),2^{606} \equiv 4 \pmod 5, así que 2606+12^{606} + 1 es divisible por 5.5. Opción D: 2607≡2(mod3),2^{607} \equiv 2 \pmod 3, así que 2607+12^{607} + 1 es divisible por 3.3. Opción E: módulo 5,5, 2607+3607≡3+2=5≡0.2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0.
Para 2607−1:2^{607} - 1: es ≡1(mod3),\equiv 1 \pmod 3, ≡2(mod5),\equiv 2 \pmod 5, y (ya que 23≡1(mod7)2^3 \equiv 1 \pmod 7 y 607≡1(mod3)607 \equiv 1 \pmod 3) ≡1(mod7).\equiv 1 \pmod 7. Así que no es divisible por ningún primo menor que 10.10.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Every option is odd, so only the primes 3,5,73, 5, 7 need checking.
Option A: 2606≡1(mod3),2^{606} \equiv 1 \pmod 3, so 2606−12^{606} - 1 is divisible by 3.3. Option B: 2606≡4(mod5),2^{606} \equiv 4 \pmod 5, so 2606+12^{606} + 1 is divisible by 5.5. Option D: 2607≡2(mod3),2^{607} \equiv 2 \pmod 3, so 2607+12^{607} + 1 is divisible by 3.3. Option E: modulo 5,5, 2607+3607≡3+2=5≡0.2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0.
For 2607−1:2^{607} - 1: it is ≡1(mod3),\equiv 1 \pmod 3, ≡2(mod5),\equiv 2 \pmod 5, and (since 23≡1(mod7)2^3 \equiv 1 \pmod 7 and 607≡1(mod3)607 \equiv 1 \pmod 3) ≡1(mod7).\equiv 1 \pmod 7. So it is not divisible by any prime below 10.10.
Thus, the correct answer is C.

16.

Supón que xx e yy son números reales positivos tales que
xy=264x^y = 2^{64} y (log⁡2x)log⁡2y=27.(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.
¿Cuál es el mayor valor posible de log⁡2y\log_2 y?
Suppose xx and yy are positive real numbers such that
xy=264x^y = 2^{64} and (log⁡2x)log⁡2y=27.(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.
What is the greatest possible value of log⁡2y?\log_2 y?
33
44
3+23 + \sqrt2
4+34 + \sqrt3
77
Conceptos:logaritmosustitucióncuadrática
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
Sea a=log⁡2xa = \log_2 x y b=log⁡2y;b = \log_2 y; toma log⁡2\log_2 de ambas ecuaciones.
Let a=log⁡2xa = \log_2 x and b=log⁡2y;b = \log_2 y; take log⁡2\log_2 of both equations
Pista grande:
Obtienes a⋅2b=26a \cdot 2^b = 2^6 y a=27b;a = 2^{\frac{7}{b}}; combínalas para formar una ecuación cuadrática en bb.
You get a⋅2b=26a \cdot 2^b = 2^6 and a=27b;a = 2^{\frac{7}{b}}; combine to form a quadratic in bb
Solución:
Sea a=log⁡2xa = \log_2 x y b=log⁡2y.b = \log_2 y. Tomando log⁡2\log_2 de xy=264x^y = 2^{64} se obtiene ylog⁡2x=64,y \log_2 x = 64, es decir, a⋅2b=26.a \cdot 2^b = 2^6.
Tomando log⁡2\log_2 de la segunda ecuación se obtiene blog⁡2a=7,b \log_2 a = 7, así que a=27b.a = 2^{\frac{7}{b}}. Sustituyendo, 27b⋅2b=26,2^{\frac{7}{b}} \cdot 2^b = 2^6, así que b+7b=6,b + \dfrac7b = 6, es decir, b2−6b+7=0.b^2 - 6b + 7 = 0.
Así, b=3±2,b = 3 \pm \sqrt2, y el mayor valor de log⁡2y\log_2 y es 3+2.3 + \sqrt2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let a=log⁡2xa = \log_2 x and b=log⁡2y.b = \log_2 y. Taking log⁡2\log_2 of xy=264x^y = 2^{64} gives ylog⁡2x=64,y \log_2 x = 64, i.e. a⋅2b=26.a \cdot 2^b = 2^6.
Taking log⁡2\log_2 of the second equation gives blog⁡2a=7,b \log_2 a = 7, so a=27b.a = 2^{\frac{7}{b}}. Substituting, 27b⋅2b=26,2^{\frac{7}{b}} \cdot 2^b = 2^6, so b+7b=6,b + \dfrac7b = 6, i.e. b2−6b+7=0.b^2 - 6b + 7 = 0.
Thus b=3±2,b = 3 \pm \sqrt2, and the greatest value of log⁡2y\log_2 y is 3+2.3 + \sqrt2.
Thus, the correct answer is C.

17.

¿Cuántos arreglos 4×44 \times 4 cuyas entradas son 00 y 11 hay tales que las sumas de filas (la suma de las entradas de cada fila) sean 1,1, 2,2, 3,3, y 4,4, en algún orden, y las sumas de columnas (la suma de las entradas de cada columna) sean también 1,1, 2,2, 3,3, y 4,4, en algún orden? Por ejemplo, el arreglo [1110011011110100]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} satisface la condición.
How many 4×44 \times 4 arrays whose entries are 00s and 11s are there such that the row sums (the sum of the entries in each row) are 1,1, 2,2, 3,3, and 4,4, in some order, and the column sums (the sum of the entries in each column) are also 1,1, 2,2, 3,3, and 4,4, in some order? For example, the array [1110011011110100]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} satisfies the condition.
144144
240240
336336
576576
624624
Conceptos:principio de multiplicaciónanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1840
Pista pequeña:
La fila de suma 44 es toda de 11 y la columna de suma 44 es toda de 11.
The row of sum 44 is all 11s and the column of sum 44 is all 11s
Pista grande:
Elimina la columna de suma 44; el arreglo 4×34 \times 3 restante tiene sumas de filas 0,1,2,30,1,2,3 y sumas de columnas 1,2,31,2,3.
Delete the sum-44 column; the remaining 4×34 \times 3 array has row sums 0,1,2,30,1,2,3 and column sums 1,2,31,2,3
Solución:
La fila de suma 44 es toda de 11 y la columna de suma 44 es toda de 11. Hay 4!4! maneras de asignar las sumas de filas 1,2,3,41, 2, 3, 4 a las cuatro filas, y 44 opciones para cuál columna tiene suma 4.4.
Elimina esa columna. El arreglo 4×34 \times 3 restante tiene sumas de filas 0,1,2,30, 1, 2, 3 y debe tener sumas de columnas 1,2,3.1, 2, 3. Las filas todo-cero y todo-uno quedan forzadas; las filas de suma reducida 11 y 22 se pueden colocar de 66 maneras para producir sumas de columnas 1,2,31, 2, 3 en algún orden.
El total es 24⋅4⋅6=576.24 \cdot 4 \cdot 6 = 576.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The row with sum 44 is all 11s and the column with sum 44 is all 11s. There are 4!4! ways to assign the row sums 1,2,3,41, 2, 3, 4 to the four rows, and 44 choices for which column has sum 4.4.
Delete that column. The remaining 4×34 \times 3 array has row sums 0,1,2,30, 1, 2, 3 and must have column sums 1,2,3.1, 2, 3. The all-zero and all-one rows are forced; the rows of reduced sum 11 and 22 can be placed in 66 ways to produce column sums 1,2,31, 2, 3 in some order.
The total is 24⋅4⋅6=576.24 \cdot 4 \cdot 6 = 576.
Thus, the correct answer is D.

18.

Cada casilla de una cuadrícula 5×55 \times 5 está llena o vacía, y tiene hasta ocho casillas vecinas adyacentes, donde las casillas vecinas comparten un lado o una esquina. La cuadrícula se transforma según las siguientes reglas:
Toda casilla llena con dos o tres vecinas llenas permanece llena. Toda casilla vacía con exactamente tres vecinas llenas se convierte en llena. Todas las demás casillas permanecen vacías o se vuelven vacías.
En la figura de abajo se muestra una transformación de ejemplo.
Supón que la cuadrícula 5×55 \times 5 tiene un borde de casillas vacías que rodea una subcuadrícula 3×33 \times 3. ¿Cuántas configuraciones iniciales llevan a una cuadrícula transformada que consiste en una sola casilla llena en el centro tras una única transformación? (Las rotaciones y reflexiones de la misma configuración se consideran diferentes.)
Each square in a 5×55 \times 5 grid is either filled or empty, and has up to eight adjacent neighboring squares, where neighboring squares share either a side or a corner. The grid is transformed by the following rules:
Any filled square with two or three filled neighbors remains filled. Any empty square with exactly three filled neighbors becomes a filled square. All other squares remain empty or become empty.
A sample transformation is shown in the figure below.
Suppose the 5×55 \times 5 grid has a border of empty squares surrounding a 3×33 \times 3 subgrid. How many initial configurations will lead to a transformed grid consisting of a single filled square in the center after a single transformation? (Rotations and reflections of the same configuration are considered different.)
1414
1818
2222
2626
3030
Conceptos:simulación de procesosanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2000
Pista pequeña:
Solo la 3×33 \times 3 interior puede llenarse; para que el centro quede lleno necesita exactamente 33 vecinas llenas (si estaba vacío) o 22-33 (si estaba lleno).
Only the inner 3×33 \times 3 can be filled; the center becoming filled needs exactly 33 filled neighbors (if it was empty) or 22-33 (if it was filled)
Pista grande:
La restricción determinante es que ninguna casilla del borde gane exactamente tres vecinas llenas; verifica que toda configuración válida tiene exactamente tres casillas llenas.
The binding constraint is that no border square gains exactly three filled neighbors; check that every valid configuration has exactly three filled cells
Solución:
Solo las casillas de la 3×33 \times 3 interior pueden comenzar llenas. Para que el centro quede lleno después, si empezó vacío necesita exactamente 33 vecinas llenas, y si empezó lleno necesita 22 o 3.3.
Toda otra casilla debe terminar vacía. La restricción clave es que ninguna casilla del borde puede adquirir exactamente tres vecinas llenas, lo que descarta llenar las tres casillas a lo largo de un borde exterior de la 3×3.3 \times 3.
Si el centro empieza vacío, exactamente 33 de sus 88 vecinas deben estar llenas. Al revisar estas ternas salvo simetrías del cuadrado quedan cuatro tipos. Con coordenadas del anillo centradas en (0,0),(0,0), los representantes son {(−1,−1),(−1,0),(1,1)},{(−1,−1),(−1,1),(1,−1)},{(−1,−1),(−1,1),(1,0)},{(−1,−1),(0,1),(1,0)}. \begin{gathered} \{(-1,-1),(-1,0),(1,1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,-1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,0)\},\\ \{(-1,-1),(0,1),(1,0)\}. \end{gathered} Los tamaños de sus órbitas de simetría son 8,4,4,4,8,4,4,4, lo que da 2020 configuraciones.
Si el centro empieza lleno, la misma revisión de vecinas deja solo las dos configuraciones en las que las otras casillas llenas son vecinas de esquinas opuestas. Por lo tanto, el total es 20+2=22.20+2=22.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Only the inner 3×33 \times 3 squares can start filled. For the center to be filled afterward, if it began empty it needs exactly 33 filled neighbors, and if it began filled it needs 22 or 3.3.
Every other square must end empty. The key restriction is that no border square may acquire exactly three filled neighbors, which rules out filling all three squares along an outer edge of the 3×3.3 \times 3.
If the center starts empty, exactly 33 of its 88 neighbors must be filled. Checking these triples up to square symmetry leaves four types. With ring coordinates centered at (0,0),(0,0), representatives are {(−1,−1),(−1,0),(1,1)},{(−1,−1),(−1,1),(1,−1)},{(−1,−1),(−1,1),(1,0)},{(−1,−1),(0,1),(1,0)}. \begin{gathered} \{(-1,-1),(-1,0),(1,1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,-1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,0)\},\\ \{(-1,-1),(0,1),(1,0)\}. \end{gathered} Their symmetry-orbit sizes are 8,4,4,4,8,4,4,4, giving 2020 configurations.
If the center starts filled, the same neighbor check leaves only the two configurations in which the other filled cells are opposite corner neighbors. Hence the total is 20+2=22.20+2=22.
Thus, the correct answer is C.

19.

En △ABC\triangle ABC las medianas AD‾\overline{AD} y BE‾\overline{BE} se cortan en GG y △AGE\triangle AGE es equilátero. Entonces cos⁡(C)\cos(C) se puede escribir como mpn,\dfrac{m\sqrt p}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí y pp es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale m+n+pm + n + p?
In △ABC\triangle ABC medians AD‾\overline{AD} and BE‾\overline{BE} intersect at GG and △AGE\triangle AGE is equilateral. Then cos⁡(C)\cos(C) can be written as mpn,\dfrac{m\sqrt p}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers and pp is a positive integer not divisible by the square of any prime. What is m+n+p?m + n + p?
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Conceptos:mediana (geometría)baricentroley de los cosenos
Nivel de dificultad: 2020
Pista pequeña:
El baricentro divide ADAD de modo que AG=23AD,AG = \tfrac23 AD, y GE=13BE;GE = \tfrac13 BE; además AE=12ACAE = \tfrac12 AC.
The centroid splits ADAD so AG=23AD,AG = \tfrac23 AD, and GE=13BE;GE = \tfrac13 BE; also AE=12ACAE = \tfrac12 AC
Pista grande:
Iguala las tres y usa la fórmula de la longitud de la mediana para relacionar los lados, y luego aplica la ley de los cosenos.
Set all three equal and use the median-length formula to relate the sides, then apply the law of cosines
Solución:
Sea a=BC,a = BC, b=CA,b = CA, c=AB.c = AB. Como EE es el punto medio de AC,AC, AE=b2.AE = \tfrac{b}{2}. El baricentro da AG=23maAG = \tfrac23 m_a y GE=13mb,GE = \tfrac13 m_b, donde ma,mbm_a, m_b son las medianas desde AA y B.B.
Que △AGE\triangle AGE sea equilátero significa AG=GE=AE.AG = GE = AE. De 23ma=b2\tfrac23 m_a = \tfrac{b}{2} obtenemos ma=34b,m_a = \tfrac34 b, que junto con ma2=2b2+2c2−a24m_a^2 = \tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} da 2c2−a2=b24.2c^2 - a^2 = \tfrac{b^2}{4}. De 13mb=b2\tfrac13 m_b = \tfrac{b}{2} obtenemos mb=32b,m_b = \tfrac32 b, lo que da a2+c2=5b2.a^2 + c^2 = 5b^2.
Resolviendo, c2=7b24c^2 = \tfrac{7b^2}{4} y a2=13b24.a^2 = \tfrac{13b^2}{4}. Tomando b=2b = 2 se obtiene a2=13,a^2 = 13, c2=7,c^2 = 7, así que cos⁡C=a2+b2−c22ab=13+4−72⋅13⋅2=51326. \begin{aligned} \cos C &= \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\ &= \dfrac{13 + 4 - 7}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot 2} \\ &= \dfrac{5\sqrt{13}}{26}. \end{aligned}
Entonces m+n+p=5+26+13=44.m + n + p = 5 + 26 + 13 = 44.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Let a=BC,a = BC, b=CA,b = CA, c=AB.c = AB. Since EE is the midpoint of AC,AC, AE=b2.AE = \tfrac{b}{2}. The centroid gives AG=23maAG = \tfrac23 m_a and GE=13mb,GE = \tfrac13 m_b, where ma,mbm_a, m_b are the medians from AA and B.B.
Equilateral △AGE\triangle AGE means AG=GE=AE.AG = GE = AE. From 23ma=b2\tfrac23 m_a = \tfrac{b}{2} we get ma=34b,m_a = \tfrac34 b, which with ma2=2b2+2c2−a24m_a^2 = \tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} gives 2c2−a2=b24.2c^2 - a^2 = \tfrac{b^2}{4}. From 13mb=b2\tfrac13 m_b = \tfrac{b}{2} we get mb=32b,m_b = \tfrac32 b, giving a2+c2=5b2.a^2 + c^2 = 5b^2.
Solving, c2=7b24c^2 = \tfrac{7b^2}{4} and a2=13b24.a^2 = \tfrac{13b^2}{4}. Taking b=2b = 2 gives a2=13,a^2 = 13, c2=7,c^2 = 7, so cos⁡C=a2+b2−c22ab=13+4−72⋅13⋅2=51326. \begin{aligned} \cos C &= \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\ &= \dfrac{13 + 4 - 7}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot 2} \\ &= \dfrac{5\sqrt{13}}{26}. \end{aligned}
Then m+n+p=5+26+13=44.m + n + p = 5 + 26 + 13 = 44.
Thus, the correct answer is A.

20.

Sea P(x)P(x) un polinomio con coeficientes racionales tal que, cuando P(x)P(x) se divide entre el polinomio x2+x+1,x^2 + x + 1, el residuo es x+2,x + 2, y cuando P(x)P(x) se divide entre el polinomio x2+1,x^2 + 1, el residuo es 2x+1.2x + 1. Existe un único polinomio de menor grado con estas dos propiedades. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los coeficientes de ese polinomio?
Let P(x)P(x) be a polynomial with rational coefficients such that when P(x)P(x) is divided by the polynomial x2+x+1,x^2 + x + 1, the remainder is x+2,x + 2, and when P(x)P(x) is divided by the polynomial x2+1,x^2 + 1, the remainder is 2x+1.2x + 1. There is a unique polynomial of least degree with these two properties. What is the sum of the squares of the coefficients of that polynomial?
1010
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1919
2020
2323
Conceptos:polinomioTeorema chino del resto
Nivel de dificultad: 2020
Pista pequeña:
El polinomio de menor grado es cúbico; escríbelo como P(x)=x+2P(x) = x + 2 +(x2+x+1)(px+q)+ (x^2 + x + 1)(px + q).
The least-degree polynomial is a cubic; write P(x)=x+2P(x) = x + 2 +(x2+x+1)(px+q)+ (x^2 + x + 1)(px + q)
Pista grande:
Reduce esa expresión módulo x2+1x^2 + 1 usando x2≡−1,x^2 \equiv -1, e iguálala a 2x+12x + 1.
Reduce that expression modulo x2+1x^2 + 1 using x2≡−1,x^2 \equiv -1, and match it to 2x+12x + 1
Solución:
Ningún polinomio lineal puede tener los dos residuos distintos. Si P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c fuera cuadrático, al comparar sus residuos se obtendrían simultáneamente b−a=1, c−a=2b-a=1,\ c-a=2 y b=2, c−a=1,b=2,\ c-a=1, una contradicción. Por tanto, el menor grado posible es 3.3. Escribamos P(x)=(x+2)P(x) = (x + 2) +(x2+x+1)(px+q),+ (x^2 + x + 1)(px + q), que tiene residuo x+2x + 2 al dividir entre x2+x+1.x^2 + x + 1.
Al reducir módulo x2+1x^2 + 1 (de modo que x2≡−1x^2 \equiv -1) se obtiene el residuo (q+1)x+(2−p).(q + 1)x + (2 - p). Al igualarlo a 2x+12x + 1, se obtiene q=1q = 1 y p=1.p = 1.
Entonces P(x)=x3+2x2+3x+3,P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3, y la suma de los cuadrados de los coeficientes es 1+4+9+9=23.1 + 4 + 9 + 9 = 23.
Así, la respuesta correcta es E.
No linear polynomial can have the two different remainders. If P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c were quadratic, comparing its remainders would give both b−a=1, c−a=2b-a=1,\ c-a=2 and b=2, c−a=1,b=2,\ c-a=1, a contradiction. Thus the least possible degree is 3.3. Write P(x)=(x+2)P(x) = (x + 2) +(x2+x+1)(px+q),+ (x^2 + x + 1)(px + q), which has remainder x+2x + 2 upon division by x2+x+1.x^2 + x + 1.
Reducing modulo x2+1x^2 + 1 (so x2≡−1x^2 \equiv -1) gives remainder (q+1)x+(2−p).(q + 1)x + (2 - p). Setting this equal to 2x+12x + 1 gives q=1q = 1 and p=1.p = 1.
Then P(x)=x3+2x2+3x+3,P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3, and the sum of the squares of the coefficients is 1+4+9+9=23.1 + 4 + 9 + 9 = 23.
Thus, the correct answer is E.

21.

Sea SS el conjunto de circunferencias del plano de coordenadas que son tangentes a cada una de las tres circunferencias de ecuaciones x2+y2=4,x^2 + y^2 = 4, x2+y2=64,x^2 + y^2 = 64, y (x−5)2+y2=3.(x - 5)^2 + y^2 = 3. ¿Cuál es la suma de las áreas de todas las circunferencias de SS?
Let SS be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations x2+y2=4,x^2 + y^2 = 4, x2+y2=64,x^2 + y^2 = 64, and (x−5)2+y2=3.(x - 5)^2 + y^2 = 3. What is the sum of the areas of all circles in S?S?
48π48\pi
68π68\pi
96π96\pi
102π102\pi
136π136\pi
Conceptos:circunferencias tangentesárea del círculoanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:
Una circunferencia tangente a las dos circunferencias concéntricas (radios 22 y 88) tiene radio 33 o radio 55.
A circle tangent to both concentric circles (radii 22 and 88) has radius 33 or radius 55
Pista grande:
Las circunferencias de radio 33 tienen centros sobre la circunferencia de radio 5;5; las de radio 55 sobre la circunferencia de radio 3.3. Cuenta cuántas de cada una son también tangentes a la tercera circunferencia.
The radius-33 circles have centers on the circle of radius 5;5; the radius-55 circles on the circle of radius 3.3. Count how many of each are also tangent to the third circle
Solución:
Los dos primeros círculos son concéntricos y tienen radios 22 y 8.8. Un círculo tangente a ambos tiene radio 33 y su centro está a distancia 55 del origen, o tiene radio 55 y su centro está a distancia 33 del origen.
El tercer círculo tiene centro (5,0)(5, 0) y radio 3.\sqrt3. Para cada radio candidato s∈{3,5},s\in\{3,5\}, la tangencia exige que la distancia de su centro a (5,0)(5,0) sea s+3s+\sqrt3 o s−3.s-\sqrt3. Cada uno de estos dos círculos de distancias corta al lugar geométrico correspondiente de los centros en dos puntos simétricos. Por tanto, funcionan exactamente cuatro círculos de radio 33 y cuatro de radio 55.
La suma de sus áreas es 4⋅π(3)2+4⋅π(5)24 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2 =36π+100π=136π.= 36\pi + 100\pi = 136\pi.
Así, la respuesta correcta es E.
The first two circles are concentric with radii 22 and 8.8. A circle tangent to both either has radius 33 with center at distance 55 from the origin, or radius 55 with center at distance 33 from the origin.
The third circle has center (5,0)(5, 0) and radius 3.\sqrt3. For each candidate radius s∈{3,5},s\in\{3,5\}, tangency requires the center’s distance from (5,0)(5,0) to be s+3s+\sqrt3 or s−3.s-\sqrt3. Each of these two distance circles intersects the appropriate center-locus in two symmetric points. Hence exactly four radius-33 circles and four radius-55 circles work.
The sum of the areas is 4⋅π(3)2+4⋅π(5)24 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2 =36π+100π=136π.= 36\pi + 100\pi = 136\pi.
Thus, the correct answer is E.

22.

La hormiga Amelia comienza en la recta numérica en 00 y se arrastra de la siguiente manera. Para n=1,n = 1, 2,2, 3,3, Amelia elige una duración de tiempo tnt_n y un incremento xnx_n de forma independiente y uniforme al azar del intervalo (0,1).(0, 1). Durante el nn-ésimo paso del proceso, Amelia se mueve xnx_n unidades en la dirección positiva, empleando tnt_n minutos. Si el tiempo total transcurrido ha superado 11 minuto durante el nn-ésimo paso, se detiene al final de ese paso; de lo contrario, continúa con el siguiente paso, dando a lo sumo 33 pasos en total. ¿Cuál es la probabilidad de que la posición de Amelia cuando se detenga sea mayor que 11?
Ant Amelia starts on the number line at 00 and crawls in the following manner. For n=1,n = 1, 2,2, 3,3, Amelia chooses a time duration tnt_n and an increment xnx_n independently and uniformly at random from the interval (0,1).(0, 1). During the nnth step of the process, Amelia moves xnx_n units in the positive direction, using up tnt_n minutes. If the total elapsed time has exceeded 11 minute during the nnth step, she stops at the end of that step; otherwise, she continues with the next step, taking at most 33 steps in all. What is the probability that Amelia’s position when she stops will be greater than 1?1?
13\dfrac13
12\dfrac12
23\dfrac23
34\dfrac34
56\dfrac56
Conceptos:probabilidad geométricaeventos independientes
Nivel de dificultad: 2110
Pista pequeña:
Como cada tn<1,t_n \lt 1, siempre da al menos dos pasos; da exactamente dos si y solo si t1+t2>1t_1 + t_2 \gt 1.
Since each tn<1,t_n \lt 1, she always takes at least two steps; she takes exactly two iff t1+t2>1t_1 + t_2 \gt 1
Pista grande:
Los tiempos son independientes de los incrementos; usa P(x1+x2>1)=12P(x_1 + x_2 \gt 1) = \tfrac12 y P(x1+x2+x3>1)=56P(x_1 + x_2 + x_3 \gt 1) = \tfrac56.
The times are independent of the increments; use P(x1+x2>1)=12P(x_1 + x_2 \gt 1) = \tfrac12 and P(x1+x2+x3>1)=56P(x_1 + x_2 + x_3 \gt 1) = \tfrac56
Solución:
Como cada tn<1,t_n \lt 1, Amelia siempre completa al menos dos pasos. Se detiene tras exactamente dos pasos cuando t1+t2>1,t_1 + t_2 \gt 1, lo que ocurre con probabilidad 12;\tfrac12; de lo contrario da los tres pasos.
Los incrementos son independientes de los tiempos. Si da dos pasos, su posición es x1+x2,x_1 + x_2, y P(x1+x2>1)=12.P(x_1 + x_2 \gt 1) = \tfrac12. Si da tres, su posición es x1+x2+x3,x_1 + x_2 + x_3, y P(x1+x2+x3>1)P(x_1 + x_2 + x_3 \gt 1) =1−16=56.= 1 - \tfrac16 = \tfrac56.
La respuesta es 12⋅12+12⋅56=14+512=23.\tfrac12 \cdot \tfrac12 + \tfrac12 \cdot \tfrac56 = \tfrac14 + \tfrac{5}{12} = \tfrac23.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Because each tn<1,t_n \lt 1, Amelia always completes at least two steps. She stops after exactly two steps when t1+t2>1,t_1 + t_2 \gt 1, which happens with probability 12;\tfrac12; otherwise she takes all three steps.
The increments are independent of the times. If she takes two steps, her position is x1+x2,x_1 + x_2, and P(x1+x2>1)=12.P(x_1 + x_2 \gt 1) = \tfrac12. If she takes three, her position is x1+x2+x3,x_1 + x_2 + x_3, and P(x1+x2+x3>1)P(x_1 + x_2 + x_3 \gt 1) =1−16=56.= 1 - \tfrac16 = \tfrac56.
The answer is 12⋅12+12⋅56=14+512=23.\tfrac12 \cdot \tfrac12 + \tfrac12 \cdot \tfrac56 = \tfrac14 + \tfrac{5}{12} = \tfrac23.
Thus, the correct answer is C.

23.

Sea x0,x_0, x1,x_1, x2,x_2, …\ldots una sucesión de números, donde cada xkx_k es 00 o 1.1. Para cada entero positivo n,n, define Sn=∑k=0n−1xk2k.S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k. Supón que 7Sn≡1(mod2n)7 S_n \equiv 1 \pmod{2^n} para todo n≥1.n \ge 1. ¿Cuál es el valor de la suma x2019+2x2020+4x2021+8x2022?x_{2019} + 2x_{2020} + 4x_{2021} + 8x_{2022}?
Let x0,x_0, x1,x_1, x2,x_2, …\ldots be a sequence of numbers, where each xkx_k is either 00 or 1.1. For each positive integer n,n, define Sn=∑k=0n−1xk2k.S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k. Suppose 7Sn≡1(mod2n)7 S_n \equiv 1 \pmod{2^n} for all n≥1.n \ge 1. What is the value of the sum x2019+2x2020+4x2021+8x2022?x_{2019} + 2x_{2020} + 4x_{2021} + 8x_{2022}?
66
77
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Conceptos:aritmética modularbase numéricareconocimiento de patrones
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
SnS_n es el número formado por los nn bits bajos; la condición dice Sn≡7−1(mod2n)S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}.
SnS_n is the number formed by the low nn bits; the condition says Sn≡7−1(mod2n)S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}
Pista grande:
Así, los bits xkx_k son los dígitos binarios (2-ádicos) de 17;\tfrac17; halla su patrón periódico.
So the bits xkx_k are the binary (2-adic) digits of 17;\tfrac17; find their repeating pattern
Solución:
Como SnS_n es el entero formado por los nn bits bajos, la condición 7Sn≡17S_n \equiv 1 significa Sn≡7−1(mod2n)S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n} para todo n.n. Así, los dígitos xkx_k son los dígitos en base 22 de 17\tfrac17 como número 22-ádico.
La división larga en base 22 da los dígitos x0=x1=x2=1,x_0 = x_1 = x_2 = 1, y a partir de ahí el bloque se repite con periodo 3:3: para k≥1,k \ge 1, xk=0x_k = 0 exactamente cuando kk es divisible por 3,3, y xk=1x_k = 1 en caso contrario.
Como 20192019 y 20222022 son ambos divisibles por 3,3, mientras que 2020≡12020 \equiv 1 y 2021≡2(mod3),2021 \equiv 2 \pmod 3, obtenemos x2019=0,x_{2019} = 0, x2020=1,x_{2020} = 1, x2021=1,x_{2021} = 1, x2022=0.x_{2022} = 0. La suma es 0+2+4+0=6.0 + 2 + 4 + 0 = 6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Since SnS_n is the integer formed by the low nn bits, the condition 7Sn≡17S_n \equiv 1 means Sn≡7−1(mod2n)S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n} for every n.n. Thus the digits xkx_k are the base-22 digits of 17\tfrac17 as a 22-adic number.
Long division in base 22 gives digits x0=x1=x2=1,x_0 = x_1 = x_2 = 1, and thereafter the block repeats with period 3:3: for k≥1,k \ge 1, xk=0x_k = 0 exactly when kk is divisible by 3,3, and xk=1x_k = 1 otherwise.
Since 20192019 and 20222022 are both divisible by 3,3, while 2020≡12020 \equiv 1 and 2021≡2(mod3),2021 \equiv 2 \pmod 3, we get x2019=0,x_{2019} = 0, x2020=1,x_{2020} = 1, x2021=1,x_{2021} = 1, x2022=0.x_{2022} = 0. The sum is 0+2+4+0=6.0 + 2 + 4 + 0 = 6.
Thus, the correct answer is A.

24.

La figura de abajo representa un 77-gono regular inscrito en una circunferencia unitaria.
¿Cuál es la suma de las 44-ésimas potencias de las longitudes de las 2121 aristas y diagonales?
The figure below depicts a regular 77-gon inscribed in a unit circle.
What is the sum of the 44th powers of the lengths of all 2121 of its edges and diagonals?
4949
9898
147147
168168
196196
Conceptos:cuerdaraíces de la unidadidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2370
Pista pequeña:
Una cuerda entre vértices separados dd tiene longitud al cuadrado 2−2cos⁡2πd7;2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}; hay 77 de cada tipo d=1,2,3d = 1, 2, 3.
A chord between vertices dd apart has squared length 2−2cos⁡2πd7;2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}; there are 77 of each type d=1,2,3d = 1, 2, 3
Pista grande:
Usa ∑d=13cos⁡2πd7=−12\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12 para evaluar ∑(2−2cos⁡2πd7)2\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2.
Use ∑d=13cos⁡2πd7=−12\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12 to evaluate ∑(2−2cos⁡2πd7)2\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2
Solución:
Una cuerda que une dos vértices separados dd pasos tiene longitud al cuadrado 2−2cos⁡2πd7,2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}, y hay 77 cuerdas para cada d=1,2,3.d = 1, 2, 3. La suma buscada es 7∑d=13(2−2cos⁡2πd7)2. 7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.
Usando ∑d=13cos⁡2πd7=−12\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12 y ∑d=13cos⁡22πd7=54,\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54, la suma interior se expande a 4(3+1+54)=21.4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.
Por lo tanto, el total es 7⋅21=147.7 \cdot 21 = 147.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
A chord joining two vertices dd steps apart has squared length 2−2cos⁡2πd7,2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}, and there are 77 chords for each of d=1,2,3.d = 1, 2, 3. The required sum is 7∑d=13(2−2cos⁡2πd7)2. 7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.
Using ∑d=13cos⁡2πd7=−12\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12 and ∑d=13cos⁡22πd7=54,\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54, the inner sum expands to 4(3+1+54)=21.4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.
Therefore the total is 7⋅21=147.7 \cdot 21 = 147.
Thus, the correct answer is C.

25.

Cuatro hexágonos regulares rodean un cuadrado de lado 1,1, cada uno compartiendo una arista con el cuadrado, como se muestra en la figura de abajo. El área del polígono exterior no convexo de 1212 lados resultante se puede escribir como mn+p,m\sqrt n + p, donde m,m, n,n, y pp son enteros y nn no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale m+n+pm + n + p?
Four regular hexagons surround a square with a side length 1,1, each one sharing an edge with the square, as shown in the figure below. The area of the resulting 1212-sided outer nonconvex polygon can be written as mn+p,m\sqrt n + p, where m,m, n,n, and pp are integers and nn is not divisible by the square of any prime. What is m+n+p?m + n + p?
−12-12
−4-4
44
2424
3232
Conceptos:polígono regulargeometría analíticafórmula del cordón
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:
Cada hexágono comparte una arista con el cuadrado y se extiende hasta el lado opuesto; establece coordenadas con el cuadrado centrado en el origen.
Each hexagon shares an edge with the square and reaches across to the far side; set up coordinates with the square centered at the origin
Pista grande:
La frontera exterior tiene aristas planas a distancia 3−12\sqrt3 - \tfrac12 y muescas entrantes donde se cruzan las aristas de hexágonos adyacentes, en (52−3, 52−3)\left(\tfrac52 - \sqrt3,\ \tfrac52 - \sqrt3\right).
The outer boundary has flat edges at distance 3−12\sqrt3 - \tfrac12 and reflex notches where adjacent hexagons’ edges cross, at (52−3, 52−3)\left(\tfrac52 - \sqrt3,\ \tfrac52 - \sqrt3\right)
Solución:
Centra el cuadrado en el origen con vértices (±12,±12).\left(\pm\tfrac12, \pm\tfrac12\right). Cada hexágono comparte una arista con el cuadrado y se extiende hasta el lado opuesto; el hexágono del borde inferior, por ejemplo, tiene su arista lejana (superior) desde (−12,3−12)\left(-\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right) hasta (12,3−12).\left(\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right).
La frontera exterior es un 1212-gono con aristas planas a distancia 3−12\sqrt3 - \tfrac12 del centro, vértices convexos como (3−12,12),\left(\sqrt3 - \tfrac12, \tfrac12\right), y cuatro muescas entrantes donde se encuentran las aristas inclinadas de hexágonos adyacentes, en (52−3,52−3)\left(\tfrac52 - \sqrt3, \tfrac52 - \sqrt3\right) y sus imágenes simétricas.
Aplicando la fórmula del cordón de zapato a estos 1212 vértices se obtiene el área 163−23,16\sqrt3 - 23, así que m=16,m = 16, n=3,n = 3, p=−23,p = -23, y m+n+p=−4.m + n + p = -4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Center the square at the origin with vertices (±12,±12).\left(\pm\tfrac12, \pm\tfrac12\right). Each hexagon shares one edge with the square and extends across to the opposite side; the hexagon on the bottom edge, for instance, has its far (top) edge from (−12,3−12)\left(-\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right) to (12,3−12).\left(\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right).
The outer boundary is a 1212-gon with flat edges at distance 3−12\sqrt3 - \tfrac12 from the center, convex vertices such as (3−12,12),\left(\sqrt3 - \tfrac12, \tfrac12\right), and four reflex notches where adjacent hexagons’ slanted edges meet, at (52−3,52−3)\left(\tfrac52 - \sqrt3, \tfrac52 - \sqrt3\right) and its symmetric images.
Applying the shoelace formula to these 1212 vertices gives area 163−23,16\sqrt3 - 23, so m=16,m = 16, n=3,n = 3, p=−23,p = -23, and m+n+p=−4.m + n + p = -4.
Thus, the correct answer is B.