Soluciones del 2022 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Se define $x \diamond y$ como $|x - y|$ para todos los números reales $x$ e $y.$ ¿Cuál es el valor de

$(1 \diamond (2 \diamond 3)) - ((1 \diamond 2) \diamond 3)?$

Define $x \diamond y$ to be $|x - y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ What is the value of

$(1 \diamond (2 \diamond 3)) - ((1 \diamond 2) \diamond 3)?$

$-2$

$-1$

$0$

$1$

$2$

Conceptos:operación personalizada valor absoluto orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Evalúa primero el $\diamond$ interior, usando $a \diamond b = |a-b|$ .

Evaluate the inner $\diamond$ first, using $a \diamond b = |a-b|$

Pista grande:

Calcula por separado $1 \diamond (2 \diamond 3)$ y $(1 \diamond 2) \diamond 3$ , y luego resta.

Compute $1 \diamond (2 \diamond 3)$ and $(1 \diamond 2) \diamond 3$ separately, then subtract

Solución:

Como $2 \diamond 3 = |2-3| = 1,$ obtenemos $1 \diamond (2 \diamond 3) = 1 \diamond 1 = 0.$

Como $1 \diamond 2 = |1-2| = 1,$ obtenemos $(1 \diamond 2) \diamond 3 = 1 \diamond 3 = |1-3| = 2.$

El valor es $0 - 2 = -2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $2 \diamond 3 = |2-3| = 1,$ we get $1 \diamond (2 \diamond 3) = 1 \diamond 1 = 0.$

Since $1 \diamond 2 = |1-2| = 1,$ we get $(1 \diamond 2) \diamond 3 = 1 \diamond 3 = |1-3| = 2.$

The value is $0 - 2 = -2.$

Thus, the correct answer is A.

2.

En el rombo $ABCD,$ el punto $P$ está en el segmento $\overline{AD}$ de modo que $\overline{BP} \perp \overline{AD},$ $AP = 3,$ y $PD = 2.$ ¿Cuál es el área de $ABCD$ ? (Nota: la figura no está dibujada a escala.)

In rhombus $ABCD,$ point $P$ lies on segment $\overline{AD}$ so that $\overline{BP} \perp \overline{AD},$ $AP = 3,$ and $PD = 2.$ What is the area of $ABCD?$ (Note: the figure is not drawn to scale.)

$3\sqrt5$

$10$

$6\sqrt5$

$20$

$25$

Conceptos:rombo Teorema de Pitágoras área

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

El lado del rombo es $AD = AP + PD$ .

The side length of the rhombus is $AD = AP + PD$

Pista grande:

En el triángulo rectángulo $APB,$ halla $BP,$ y luego usa área $= AD \cdot BP$ .

In right triangle $APB,$ find $BP,$ then use area $= AD \cdot BP$

Solución:

El lado es $AD = AP + PD = 5,$ así que $AB = 5.$ En el triángulo rectángulo $APB,$ $\begin{aligned} BP &= \sqrt{AB^2 - AP^2} \\ &= \sqrt{25 - 9} = 4. \end{aligned}$

Tomando $AD$ como base y $BP$ como altura, el área es $AD \cdot BP = 5 \cdot 4 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The side length is $AD = AP + PD = 5,$ so $AB = 5.$ In right triangle $APB,$ $\begin{aligned} BP &= \sqrt{AB^2 - AP^2} \\ &= \sqrt{25 - 9} = 4. \end{aligned}$

Taking $AD$ as the base and $BP$ as the height, the area is $AD \cdot BP = 5 \cdot 4 = 20.$

Thus, the correct answer is D.

3.

¿Cuántos de los diez primeros números de la sucesión $121,$ $11211,$ $1112111,$ $\ldots$ son primos?

How many of the first ten numbers of the sequence $121,$ $11211,$ $1112111,$ $\ldots$ are prime numbers?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:factorización primo

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Busca una factorización de cada término en dos enteros ambos mayores que $1$ .

Look for a factorization of each term into two integers both greater than $1$

Pista grande:

Intenta escribir un término como un repunit por un número de la forma $10^n + 1,$ por ejemplo $11211 = 111 \cdot 101$ .

Try writing a term as a repunit times a number of the form $10^n + 1,$ for example $11211 = 111 \cdot 101$

Solución:

El $n$ -ésimo término consta de $n$ unos, luego un $2,$ y luego $n$ unos. Se factoriza como un repunit por un número de la forma $10^n + 1:$ $\begin{aligned} &121 = 11 \cdot 11, \\ &\quad 11211 = 111 \cdot 101, \\ &\quad 1112111 = 1111 \cdot 1001, \end{aligned}$ y en general el $n$ -ésimo término es igual a $\underbrace{1\cdots1}_{n+1} \cdot (10^n + 1).$

Para todo $n \ge 1$ ambos factores son mayores que $1,$ por lo que cada término es compuesto. Ninguno de los diez números es primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The $n$ th term consists of $n$ ones, then a $2,$ then $n$ ones. It factors as a repunit times a number of the form $10^n + 1:$ $\begin{aligned} &121 = 11 \cdot 11, \\ &\quad 11211 = 111 \cdot 101, \\ &\quad 1112111 = 1111 \cdot 1001, \end{aligned}$ and in general the $n$ th term equals $\underbrace{1\cdots1}_{n+1} \cdot (10^n + 1).$

For every $n \ge 1$ both factors exceed $1,$ so every term is composite. None of the ten numbers is prime.

Thus, the correct answer is A.

4.

¿Para cuántos valores de la constante $k$ el polinomio $x^2 + kx + 36$ tiene dos raíces enteras distintas?

For how many values of the constant $k$ will the polynomial $x^2 + kx + 36$ have two distinct integer roots?

$6$

$8$

$9$

$14$

$16$

Conceptos:Fórmulas de Vieta factor enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Si las raíces son $p$ y $q,$ entonces $pq = 36$ y $k = -(p+q)$ .

If the roots are $p$ and $q,$ then $pq = 36$ and $k = -(p+q)$

Pista grande:

Cuenta los pares de factores no ordenados de $36$ con dos enteros distintos, incluyendo los negativos.

Count the ordered-independent factor pairs of $36$ with two distinct integers, including negatives

Solución:

Si las raíces son los enteros $p$ y $q,$ entonces $pq = 36$ y $k = -(p+q).$ Las raíces distintas deben tener el mismo signo, así que listamos los pares de factores de $36$ con $p \ne q.$

Los pares positivos son $(1,36), (2,18), (3,12), (4,9),$ y los pares negativos son $(-1,-36),$ $(-2,-18),$ $(-3,-12),$ $(-4,-9).$ El par $(6,6)$ se excluye porque las raíces deben ser distintas.

Cada uno de estos $8$ pares da un valor distinto de $k.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the roots are integers $p$ and $q,$ then $pq = 36$ and $k = -(p+q).$ Distinct roots must have the same sign, so we list factor pairs of $36$ with $p \ne q.$

The positive pairs are $(1,36), (2,18), (3,12), (4,9),$ and the negative pairs are $(-1,-36),$ $(-2,-18),$ $(-3,-12),$ $(-4,-9).$ The pair $(6,6)$ is excluded since the roots must be distinct.

Each of these $8$ pairs gives a different value of $k.$

Thus, the correct answer is B.

5.

El punto $(-1, -2)$ se rota $270^\circ$ en sentido antihorario alrededor del punto $(3, 1).$ ¿Cuáles son las coordenadas de su nueva posición?

The point $(-1, -2)$ is rotated $270^\circ$ counterclockwise about the point $(3, 1).$ What are the coordinates of its new position?

$(-3, -4)$

$(0, 5)$

$(2, -1)$

$(4, 3)$

$(6, -3)$

Conceptos:transformación geometría analítica

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Traslada de modo que el centro de rotación sea el origen, rota y luego traslada de vuelta.

Translate so the center of rotation is the origin, rotate, then translate back

Pista grande:

Una rotación de $270^\circ$ en sentido antihorario envía $(x, y)$ a $(y, -x)$ .

A $270^\circ$ counterclockwise rotation sends $(x, y)$ to $(y, -x)$

Solución:

Respecto al centro $(3, 1),$ el punto está en $(-1 - 3,\, -2 - 1) = (-4, -3).$

Una rotación de $270^\circ$ en sentido antihorario envía $(x, y)$ a $(y, -x),$ así que $(-4, -3)$ se convierte en $(-3, 4).$

Al trasladar de vuelta se obtiene $(3 - 3,\, 1 + 4) = (0, 5).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Relative to the center $(3, 1),$ the point is at $(-1 - 3,\, -2 - 1) = (-4, -3).$

A $270^\circ$ counterclockwise rotation sends $(x, y)$ to $(y, -x),$ so $(-4, -3)$ becomes $(-3, 4).$

Translating back gives $(3 - 3,\, 1 + 4) = (0, 5).$

Thus, the correct answer is B.

6.

Considera los siguientes $100$ conjuntos de $10$ elementos cada uno:

$\{1,2,3,\ldots,10\},$ $\{11,12,13,\ldots,20\},$ $\{21,22,23,\ldots,30\},$ $\vdots$ $\{991,992,993,\ldots,1000\}.$

¿Cuántos de estos conjuntos contienen exactamente dos múltiplos de $7$ ?

Consider the following $100$ sets of $10$ elements each:

$\{1,2,3,\ldots,10\},$ $\{11,12,13,\ldots,20\},$ $\{21,22,23,\ldots,30\},$ $\vdots$ $\{991,992,993,\ldots,1000\}.$

How many of these sets contain exactly two multiples of $7?$

$40$

$42$

$43$

$49$

$50$

Conceptos:múltiplo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Un bloque de $10$ enteros consecutivos contiene uno o dos múltiplos de $7$ .

A block of $10$ consecutive integers contains either one or two multiples of $7$

Pista grande:

Cuenta el total de múltiplos de $7$ en $\{1,\ldots,1000\},$ y luego supón que $x$ bloques tienen dos y $100-x$ tienen uno.

Count the total multiples of $7$ in $\{1,\ldots,1000\},$ then let $x$ blocks have two and $100-x$ have one

Solución:

Entre $1$ y $1000$ hay $\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142$ múltiplos de $7.$ Como $10 \gt 7,$ cada bloque de $10$ enteros consecutivos contiene uno o dos múltiplos de $7.$

Si $x$ bloques contienen dos y los restantes $100 - x$ contienen uno, entonces $2x + (100 - x) = 142,$ así que $x = 42.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Among $1$ to $1000$ there are $\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142$ multiples of $7.$ Because $10 \gt 7,$ each block of $10$ consecutive integers contains one or two multiples of $7.$

If $x$ blocks contain two and the remaining $100 - x$ contain one, then $2x + (100 - x) = 142,$ so $x = 42.$

Thus, the correct answer is B.

7.

Camila escribe cinco enteros positivos. La moda única de estos enteros es $2$ mayor que su mediana, y la mediana es $2$ mayor que su media aritmética. ¿Cuál es el menor valor posible de la moda?

Camila writes down five positive integers. The unique mode of these integers is $2$ greater than their median, and the median is $2$ greater than their arithmetic mean. What is the least possible value for the mode?

$5$

$7$

$9$

$11$

$13$

Conceptos:moda mediana (datos)media optimización

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

La moda supera a la mediana, así que solo puede aparecer entre los dos números más grandes.

The mode exceeds the median, so it can only appear among the two largest numbers

Pista grande:

Sea la mediana $m;$ para que la moda sea única, los dos mayores deben ser ambos iguales a $m+2,$ y la suma es $5(m-2)$ .

Let the median be $m;$ for a unique mode the two largest must both equal $m+2,$ and the sum is $5(m-2)$

Solución:

Ordena los números de forma creciente con mediana $m.$ La moda es $m + 2 \gt m,$ así que solo puede aparecer entre las dos entradas mayores; para que sea la moda única, ambas deben ser iguales a $m + 2.$

La media es $m - 2,$ así que el total es $5(m-2).$ Con los dos mayores iguales a $m + 2$ y la mediana $m,$ los dos menores suman $5(m-2) - m - 2(m+2)$ $= 2m - 14.$

Los dos menores son enteros positivos distintos, así que $2m - 14 \ge 1 + 2 = 3,$ lo que da $m \ge 9.$ Con $m = 9$ la lista $1, 3, 9, 11, 11$ funciona, así que la menor moda es $m + 2 = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

List the numbers in increasing order with median $m.$ The mode is $m + 2 \gt m,$ so it can only occur among the two largest entries; for it to be the unique mode, both of them must equal $m + 2.$

The mean is $m - 2,$ so the total is $5(m-2).$ With the two largest equal to $m + 2$ and the median $m,$ the two smallest sum to $5(m-2) - m - 2(m+2)$ $= 2m - 14.$

The two smallest are distinct positive integers, so $2m - 14 \ge 1 + 2 = 3,$ giving $m \ge 9.$ With $m = 9$ the list $1, 3, 9, 11, 11$ works, so the least mode is $m + 2 = 11.$

Thus, the correct answer is D.

8.

¿Cuál es la gráfica de $y^4 + 1 = x^4 + 2y^2$ en el plano de coordenadas?

What is the graph of $y^4 + 1 = x^4 + 2y^2$ in the coordinate plane?

dos parábolas que se cortan

two intersecting parabolas

dos parábolas que no se cortan

two nonintersecting parabolas

dos circunferencias que se cortan

two intersecting circles

una circunferencia y una hipérbola

a circle and a hyperbola

una circunferencia y dos parábolas

a circle and two parabolas

Conceptos:diferencia de cuadrados círculo hipérbola

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pasa todo a un lado para obtener $(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2$ .

Move everything to one side to get $(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2$

Pista grande:

Factoriza como diferencia de cuadrados, lo que da dos ecuaciones separadas.

Factor as a difference of squares, giving two separate equations

Solución:

Reordenando, $y^4 - 2y^2 + 1 = x^4,$ así que $(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2.$ Esto se factoriza como $(y^2 - 1 - x^2)(y^2 - 1 + x^2) = 0.$

Así, o bien $y^2 - x^2 = 1,$ que es una hipérbola, o bien $x^2 + y^2 = 1,$ que es una circunferencia.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Rearranging, $y^4 - 2y^2 + 1 = x^4,$ so $(y^2 - 1)^2 = (x^2)^2.$ This factors as $(y^2 - 1 - x^2)(y^2 - 1 + x^2) = 0.$

Thus either $y^2 - x^2 = 1,$ which is a hyperbola, or $x^2 + y^2 = 1,$ which is a circle.

Thus, the correct answer is D.

9.

La sucesión $a_0,$ $a_1,$ $a_2,$ $\cdots$ es una progresión aritmética estrictamente creciente de enteros positivos tal que $2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.$ ¿Cuál es el mínimo valor posible de $a_2$ ?

The sequence $a_0,$ $a_1,$ $a_2,$ $\cdots$ is a strictly increasing arithmetic sequence of positive integers such that $2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.$ What is the minimum possible value of $a_2?$

$8$

$12$

$16$

$17$

$22$

Conceptos:sucesión aritmética exponente optimización

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Divide ambos lados entre $2^{27}$ para obtener $2^{a_7 - 27} = a_7$ .

Divide both sides by $2^{27}$ to get $2^{a_7 - 27} = a_7$

Pista grande:

Después de hallar $a_7,$ escribe $a_2 = a_7 - 5d$ y haz la diferencia común $d$ lo más grande posible.

After finding $a_7,$ write $a_2 = a_7 - 5d$ and make the common difference $d$ as large as possible

Solución:

Al dividir entre $2^{27},$ necesitamos $2^{a_7 - 27} = a_7.$ Por tanto, $a_7=2^j$ y $2^j-j=27,$ donde $j=a_7-27\ge0.$ El lado izquierdo es estrictamente creciente para $j\ge1,$ y $j=5$ funciona, así que de manera única $a_7=32.$

Con diferencia común $d \ge 1,$ tenemos $a_7 = a_0 + 7d = 32$ y $a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.$ Para minimizar $a_2$ , maximizamos $d;$ como $a_0 = 32 - 7d \ge 1,$ la mayor opción es $d = 4$ (que da $a_0 = 4$ ).

Entonces $a_2 = 32 - 20 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Dividing by $2^{27},$ we need $2^{a_7 - 27} = a_7.$ Thus $a_7=2^j$ and $2^j-j=27,$ where $j=a_7-27\ge0.$ The left side is strictly increasing for $j\ge1,$ and $j=5$ works, so uniquely $a_7=32.$

With common difference $d \ge 1,$ we have $a_7 = a_0 + 7d = 32$ and $a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.$ To minimize $a_2$ we maximize $d;$ since $a_0 = 32 - 7d \ge 1,$ the largest choice is $d = 4$ (giving $a_0 = 4$ ).

Then $a_2 = 32 - 20 = 12.$

Thus, the correct answer is B.

10.

El hexágono regular $ABCDEF$ tiene lado $2.$ Sea $G$ el punto medio de $\overline{AB},$ y sea $H$ el punto medio de $\overline{DE}.$ ¿Cuál es el perímetro de $GCHF$ ?

Regular hexagon $ABCDEF$ has side length $2.$ Let $G$ be the midpoint of $\overline{AB},$ and let $H$ be the midpoint of $\overline{DE}.$ What is the perimeter of $GCHF?$

$4\sqrt3$

$8$

$4\sqrt5$

$4\sqrt7$

$12$

Conceptos:polígono regular fórmula de la distancia geometría analítica

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Coloca el hexágono en coordenadas con su centro en el origen.

Place the hexagon on coordinates with its center at the origin

Pista grande:

Por simetría, los cuatro lados de $GCHF$ son iguales; calcula una distancia con la fórmula de la distancia.

By symmetry all four sides of $GCHF$ are equal; compute one distance with the distance formula

Solución:

Coloca el hexágono con centro en el origen: $A = (-1, \sqrt3),$ $B = (1, \sqrt3),$ $C = (2, 0),$ $D = (1, -\sqrt3),$ $E = (-1, -\sqrt3),$ $F = (-2, 0).$

Entonces $G = (0, \sqrt3)$ y $H = (0, -\sqrt3).$ Por simetría, los cuatro lados de $GCHF$ son iguales, y $GC = \sqrt{2^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt7.$

El perímetro es $4\sqrt7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the hexagon with center at the origin: $A = (-1, \sqrt3),$ $B = (1, \sqrt3),$ $C = (2, 0),$ $D = (1, -\sqrt3),$ $E = (-1, -\sqrt3),$ $F = (-2, 0).$

Then $G = (0, \sqrt3)$ and $H = (0, -\sqrt3).$ By symmetry all four sides of $GCHF$ are equal, and $GC = \sqrt{2^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt7.$

The perimeter is $4\sqrt7.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Sea $\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned}$ donde $i = \sqrt{-1}.$ ¿Cuánto vale $f(2022)$ ?

Let $\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned}$ where $i = \sqrt{-1}.$ What is $f(2022)?$

$-2$

$-1$

$0$

$\sqrt3$

$2$

Conceptos:raíces de la unidad número complejo

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Las dos bases son las raíces cúbicas primitivas de la unidad, $\omega$ y $\omega^2$ .

The two bases are the primitive cube roots of unity, $\omega$ and $\omega^2$

Pista grande:

Entonces $f(n) = \omega^n + \omega^{-n};$ reduce el exponente $2022$ módulo $3$ .

Then $f(n) = \omega^n + \omega^{-n};$ reduce the exponent $2022$ modulo $3$

Solución:

Las dos bases son las raíces cúbicas primitivas de la unidad, $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ y su conjugada $\omega^2 = e^{-\frac{2\pi i}{3}}.$ Así, $f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}.$

Como $2022$ es múltiplo de $3,$ $\omega^{2022} = 1,$ así que $f(2022) = 1 + 1 = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two bases are the primitive cube roots of unity, $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ and its conjugate $\omega^2 = e^{-\frac{2\pi i}{3}}.$ So $f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}.$

Since $2022$ is a multiple of $3,$ $\omega^{2022} = 1,$ so $f(2022) = 1 + 1 = 2.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Kayla lanza cuatro dados justos de $6$ caras. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los números que obtiene sea mayor que $4$ y al menos dos de los números que obtiene sean mayores que $2$ ?

Kayla rolls four fair $6$ -sided dice. What is the probability that at least one of the numbers Kayla rolls is greater than $4$ and at least two of the numbers she rolls are greater than $2?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{19}{27}$

$\dfrac{59}{81}$

$\dfrac{61}{81}$

$\dfrac{7}{9}$

Conceptos:dados (probabilidad)conteo complementario inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Clasifica cada dado en bajo $\{1,2\},$ medio $\{3,4\},$ o alto $\{5,6\},$ cada uno con probabilidad $\tfrac13$ .

Sort each die into low $\{1,2\},$ mid $\{3,4\},$ or high $\{5,6\},$ each with probability $\tfrac13$

Pista grande:

Necesitas al menos un dado alto y al menos dos dados que no sean bajos; cuenta los patrones de categorías buenos de entre $3^4$ .

You need at least one high die and at least two dice that are not low; count the good category patterns out of $3^4$

Solución:

Clasifica cada dado en bajo $\{1,2\},$ medio $\{3,4\},$ o alto $\{5,6\};$ cada uno tiene probabilidad $\tfrac13,$ así que los $3^4 = 81$ patrones de categorías son equiprobables.

Necesitamos al menos un dado alto (un número mayor que $4$ ) y al menos dos dados que sean mayores que $2$ (medio o alto). Los dos eventos malos son no tener ningún dado alto y tener a lo sumo un dado no bajo.

Hay $2^4 = 16$ patrones sin ningún dado alto, $9$ patrones con a lo sumo un dado no bajo, y $5$ patrones que no tienen ni un dado alto ni dos dados no bajos. Por inclusión-exclusión, el número de patrones buenos es $81 - 16 - 9 + 5 = 61.$

La probabilidad es $\dfrac{61}{81}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Sort each die into low $\{1,2\},$ mid $\{3,4\},$ or high $\{5,6\};$ each has probability $\tfrac13,$ so the $3^4 = 81$ category patterns are equally likely.

We need at least one high die (a number greater than $4$ ) and at least two dice that are greater than $2$ (mid or high). The two bad events are having no high die and having at most one non-low die.

There are $2^4 = 16$ patterns of the first kind, $9$ of the second kind, and $5$ in their intersection. By inclusion-exclusion the count of good patterns is $81 - 16 - 9 + 5 = 61.$

The probability is $\dfrac{61}{81}.$

Thus, the correct answer is D.

13.

El diagrama de abajo muestra un rectángulo de lados $4$ y $8$ y un cuadrado de lado $5.$ Tres vértices del cuadrado están sobre tres lados diferentes del rectángulo, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región que está dentro tanto del cuadrado como del rectángulo?

The diagram below shows a rectangle with side lengths $4$ and $8$ and a square with side length $5.$ Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?

$15\dfrac18$

$15\dfrac38$

$15\dfrac12$

$15\dfrac58$

$15\dfrac78$

Conceptos:geometría analítica descomposición de áreas Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Establece coordenadas; la inclinación del cuadrado forma triángulos rectángulos $3$ - $4$ - $5$ en las esquinas.

Set up coordinates; the tilt of the square makes $3$ - $4$ - $5$ right triangles at the corners

Pista grande:

Todo el cuadrado está dentro del rectángulo salvo un triángulo que sobresale por el borde superior; resta ese triángulo de $25$ .

The whole square lies inside the rectangle except one triangle sticking out past the top edge; subtract that triangle from $25$

Solución:

Coloca el rectángulo como $[0,8] \times [0,4].$ El cuadrado inclinado, usando los triángulos rectángulos $3$ - $4$ - $5$ , tiene vértices $(4, 0),$ $(0, 3),$ $(3, 7),$ y $(7, 4).$

Todo el cuadrado está dentro del rectángulo salvo el triángulo que sobresale por encima del borde superior $y = 4.$ Ese triángulo tiene vértices $(0.75, 4),$ $(3, 7),$ y $(7, 4),$ con área $\dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.$

La región que está en ambos es $25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the rectangle as $[0,8] \times [0,4].$ The tilted square, using the $3$ - $4$ - $5$ right triangles, has vertices $(4, 0),$ $(0, 3),$ $(3, 7),$ and $(7, 4).$

The entire square lies inside the rectangle except for the triangle poking above the top edge $y = 4.$ That triangle has vertices $(0.75, 4),$ $(3, 7),$ and $(7, 4),$ with area $\dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.$

The region inside both is $25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58.$

Thus, the correct answer is D.

14.

La gráfica de $y = x^2 + 2x - 15$ corta al eje $x$ en los puntos $A$ y $C$ y al eje $y$ en el punto $B.$ ¿Cuánto vale $\tan(\angle ABC)$ ?

The graph of $y = x^2 + 2x - 15$ intersects the $x$ -axis at points $A$ and $C$ and the $y$ -axis at point $B.$ What is $\tan(\angle ABC)?$

$\dfrac17$

$\dfrac14$

$\dfrac37$

$\dfrac12$

$\dfrac47$

Conceptos:geometría analítica vector trigonometría

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Factoriza para hallar las intersecciones: $A$ y $C$ en el eje $x$ , $B$ en el eje $y$ .

Factor to find the intercepts: $A$ and $C$ on the $x$ -axis, $B$ on the $y$ -axis

Pista grande:

Con los vectores $\vec{BA}$ y $\vec{BC},$ usa $\tan\theta = \dfrac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}$ .

With vectors $\vec{BA}$ and $\vec{BC},$ use $\tan\theta = \dfrac{|\vec{BA} \times \vec{BC}|}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}$

Solución:

Factorizando, $x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3),$ así que $A = (-5, 0)$ y $C = (3, 0),$ y la intersección con el eje $y$ es $B = (0, -15).$

Entonces $\vec{BA} = (-5, 15)$ y $\vec{BC} = (3, 15).$ Usando los productos vectorial y escalar, $\begin{gathered} \tan(\angle ABC) = \scriptsize \dfrac{|(-5)(15) - (15)(3)|}{(-5)(3) + (15)(15)} \\ = \dfrac{120}{210} \\ = \dfrac47. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring, $x^2 + 2x - 15 = (x+5)(x-3),$ so $A = (-5, 0)$ and $C = (3, 0),$ and the $y$ -intercept is $B = (0, -15).$

Then $\vec{BA} = (-5, 15)$ and $\vec{BC} = (3, 15).$ Using the cross and dot products, $\begin{gathered} \tan(\angle ABC) = \scriptsize \dfrac{|(-5)(15) - (15)(3)|}{(-5)(3) + (15)(15)} \\ = \dfrac{120}{210} \\ = \dfrac47. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is E.

15.

Uno de los siguientes números no es divisible por ningún número primo menor que $10.$ ¿Cuál es?

One of the following numbers is not divisible by any prime number less than $10.$ Which is it?

$2^{606} - 1$

$2^{606} + 1$

$2^{607} - 1$

$2^{607} + 1$

$2^{607} + 3^{607}$

Conceptos:aritmética modular orden multiplicativo divisibilidad

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Los cinco números son impares, así que prueba la divisibilidad solo por $3, 5,$ y $7$ .

All five numbers are odd, so test divisibility only by $3, 5,$ and $7$

Pista grande:

Usa los ciclos de $2^n$ módulo $3, 5, 7:$ por ejemplo $2^n \equiv 1 \pmod 3$ cuando $n$ es par.

Use the cycles of $2^n$ modulo $3, 5, 7:$ for example $2^n \equiv 1 \pmod 3$ when $n$ is even

Solución:

Toda opción es impar, así que solo hay que verificar los primos $3, 5, 7$ .

Opción A: $2^{606} \equiv 1 \pmod 3,$ así que $2^{606} - 1$ es divisible por $3.$ Opción B: $2^{606} \equiv 4 \pmod 5,$ así que $2^{606} + 1$ es divisible por $5.$ Opción D: $2^{607} \equiv 2 \pmod 3,$ así que $2^{607} + 1$ es divisible por $3.$ Opción E: módulo $5,$ $2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0.$

Para $2^{607} - 1:$ es $\equiv 1 \pmod 3,$ $\equiv 2 \pmod 5,$ y (ya que $2^3 \equiv 1 \pmod 7$ y $607 \equiv 1 \pmod 3$ ) $\equiv 1 \pmod 7.$ Así que no es divisible por ningún primo menor que $10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Every option is odd, so only the primes $3, 5, 7$ need checking.

Option A: $2^{606} \equiv 1 \pmod 3,$ so $2^{606} - 1$ is divisible by $3.$ Option B: $2^{606} \equiv 4 \pmod 5,$ so $2^{606} + 1$ is divisible by $5.$ Option D: $2^{607} \equiv 2 \pmod 3,$ so $2^{607} + 1$ is divisible by $3.$ Option E: modulo $5,$ $2^{607} + 3^{607} \equiv 3 + 2 = 5 \equiv 0.$

For $2^{607} - 1:$ it is $\equiv 1 \pmod 3,$ $\equiv 2 \pmod 5,$ and (since $2^3 \equiv 1 \pmod 7$ and $607 \equiv 1 \pmod 3$ ) $\equiv 1 \pmod 7.$ So it is not divisible by any prime below $10.$

Thus, the correct answer is C.

16.

Supón que $x$ e $y$ son números reales positivos tales que

$x^y = 2^{64}$ y $(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.$

¿Cuál es el mayor valor posible de $\log_2 y$ ?

Suppose $x$ and $y$ are positive real numbers such that

$x^y = 2^{64}$ and $(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.$

What is the greatest possible value of $\log_2 y?$

$3$

$4$

$3 + \sqrt2$

$4 + \sqrt3$

$7$

Conceptos:logaritmo sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Sea $a = \log_2 x$ y $b = \log_2 y;$ toma $\log_2$ de ambas ecuaciones.

Let $a = \log_2 x$ and $b = \log_2 y;$ take $\log_2$ of both equations

Pista grande:

Obtienes $a \cdot 2^b = 2^6$ y $a = 2^{\frac{7}{b}};$ combínalas para formar una ecuación cuadrática en $b$ .

You get $a \cdot 2^b = 2^6$ and $a = 2^{\frac{7}{b}};$ combine to form a quadratic in $b$

Solución:

Sea $a = \log_2 x$ y $b = \log_2 y.$ Tomando $\log_2$ de $x^y = 2^{64}$ se obtiene $y \log_2 x = 64,$ es decir, $a \cdot 2^b = 2^6.$

Tomando $\log_2$ de la segunda ecuación se obtiene $b \log_2 a = 7,$ así que $a = 2^{\frac{7}{b}}.$ Sustituyendo, $2^{\frac{7}{b}} \cdot 2^b = 2^6,$ así que $b + \dfrac7b = 6,$ es decir, $b^2 - 6b + 7 = 0.$

Así, $b = 3 \pm \sqrt2,$ y el mayor valor de $\log_2 y$ es $3 + \sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a = \log_2 x$ and $b = \log_2 y.$ Taking $\log_2$ of $x^y = 2^{64}$ gives $y \log_2 x = 64,$ i.e. $a \cdot 2^b = 2^6.$

Taking $\log_2$ of the second equation gives $b \log_2 a = 7,$ so $a = 2^{\frac{7}{b}}.$ Substituting, $2^{\frac{7}{b}} \cdot 2^b = 2^6,$ so $b + \dfrac7b = 6,$ i.e. $b^2 - 6b + 7 = 0.$

Thus $b = 3 \pm \sqrt2,$ and the greatest value of $\log_2 y$ is $3 + \sqrt2.$

Thus, the correct answer is C.

17.

¿Cuántos arreglos $4 \times 4$ cuyas entradas son $0$ y $1$ hay tales que las sumas de filas (la suma de las entradas de cada fila) sean $1,$ $2,$ $3,$ y $4,$ en algún orden, y las sumas de columnas (la suma de las entradas de cada columna) sean también $1,$ $2,$ $3,$ y $4,$ en algún orden? Por ejemplo, el arreglo $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ satisface la condición.

How many $4 \times 4$ arrays whose entries are $0$ s and $1$ s are there such that the row sums (the sum of the entries in each row) are $1,$ $2,$ $3,$ and $4,$ in some order, and the column sums (the sum of the entries in each column) are also $1,$ $2,$ $3,$ and $4,$ in some order? For example, the array $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ satisfies the condition.

$144$

$240$

$336$

$576$

$624$

Conceptos:principio de multiplicación análisis por casos

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

La fila de suma $4$ es toda de $1$ y la columna de suma $4$ es toda de $1$ .

The row of sum $4$ is all $1$ s and the column of sum $4$ is all $1$ s

Pista grande:

Elimina la columna de suma $4$ ; el arreglo $4 \times 3$ restante tiene sumas de filas $0,1,2,3$ y sumas de columnas $1,2,3$ .

Delete the sum- $4$ column; the remaining $4 \times 3$ array has row sums $0,1,2,3$ and column sums $1,2,3$

Solución:

La fila de suma $4$ es toda de $1$ y la columna de suma $4$ es toda de $1$ . Hay $4!$ maneras de asignar las sumas de filas $1, 2, 3, 4$ a las cuatro filas, y $4$ opciones para cuál columna tiene suma $4.$

Elimina esa columna. El arreglo $4 \times 3$ restante tiene sumas de filas $0, 1, 2, 3$ y debe tener sumas de columnas $1, 2, 3.$ Las filas todo-cero y todo-uno quedan forzadas; las filas de suma reducida $1$ y $2$ se pueden colocar de $6$ maneras para producir sumas de columnas $1, 2, 3$ en algún orden.

El total es $24 \cdot 4 \cdot 6 = 576.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The row with sum $4$ is all $1$ s and the column with sum $4$ is all $1$ s. There are $4!$ ways to assign the row sums $1, 2, 3, 4$ to the four rows, and $4$ choices for which column has sum $4.$

Delete that column. The remaining $4 \times 3$ array has row sums $0, 1, 2, 3$ and must have column sums $1, 2, 3.$ The all-zero and all-one rows are forced; the rows of reduced sum $1$ and $2$ can be placed in $6$ ways to produce column sums $1, 2, 3$ in some order.

The total is $24 \cdot 4 \cdot 6 = 576.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Cada casilla de una cuadrícula $5 \times 5$ está llena o vacía, y tiene hasta ocho casillas vecinas adyacentes, donde las casillas vecinas comparten un lado o una esquina. La cuadrícula se transforma según las siguientes reglas:

Toda casilla llena con dos o tres vecinas llenas permanece llena. Toda casilla vacía con exactamente tres vecinas llenas se convierte en llena. Todas las demás casillas permanecen vacías o se vuelven vacías.

En la figura de abajo se muestra una transformación de ejemplo.

Supón que la cuadrícula $5 \times 5$ tiene un borde de casillas vacías que rodea una subcuadrícula $3 \times 3$ . ¿Cuántas configuraciones iniciales llevan a una cuadrícula transformada que consiste en una sola casilla llena en el centro tras una única transformación? (Las rotaciones y reflexiones de la misma configuración se consideran diferentes.)

Each square in a $5 \times 5$ grid is either filled or empty, and has up to eight adjacent neighboring squares, where neighboring squares share either a side or a corner. The grid is transformed by the following rules:

Any filled square with two or three filled neighbors remains filled. Any empty square with exactly three filled neighbors becomes a filled square. All other squares remain empty or become empty.

A sample transformation is shown in the figure below.

Suppose the $5 \times 5$ grid has a border of empty squares surrounding a $3 \times 3$ subgrid. How many initial configurations will lead to a transformed grid consisting of a single filled square in the center after a single transformation? (Rotations and reflections of the same configuration are considered different.)

$14$

$18$

$22$

$26$

$30$

Conceptos:simulación de procesos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Solo la $3 \times 3$ interior puede llenarse; para que el centro quede lleno necesita exactamente $3$ vecinas llenas (si estaba vacío) o $2$ - $3$ (si estaba lleno).

Only the inner $3 \times 3$ can be filled; the center becoming filled needs exactly $3$ filled neighbors (if it was empty) or $2$ - $3$ (if it was filled)

Pista grande:

La restricción determinante es que ninguna casilla del borde gane exactamente tres vecinas llenas; verifica que toda configuración válida tiene exactamente tres casillas llenas.

The binding constraint is that no border square gains exactly three filled neighbors; check that every valid configuration has exactly three filled cells

Solución:

Solo las casillas de la $3 \times 3$ interior pueden comenzar llenas. Para que el centro quede lleno después, si empezó vacío necesita exactamente $3$ vecinas llenas, y si empezó lleno necesita $2$ o $3.$

Toda otra casilla debe terminar vacía. La restricción clave es que ninguna casilla del borde puede adquirir exactamente tres vecinas llenas, lo que descarta llenar las tres casillas a lo largo de un borde exterior de la $3 \times 3.$

Si el centro empieza vacío, exactamente $3$ de sus $8$ vecinas deben estar llenas. Al revisar estas ternas salvo simetrías del cuadrado quedan cuatro tipos. Con coordenadas del anillo centradas en $(0,0),$ los representantes son $\begin{gathered} \{(-1,-1),(-1,0),(1,1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,-1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,0)\},\\ \{(-1,-1),(0,1),(1,0)\}. \end{gathered}$ Los tamaños de sus órbitas de simetría son $8,4,4,4,$ lo que da $20$ configuraciones.

Si el centro empieza lleno, la misma revisión de vecinas deja solo las dos configuraciones en las que las otras casillas llenas son vecinas de esquinas opuestas. Por lo tanto, el total es $20+2=22.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Only the inner $3 \times 3$ squares can start filled. For the center to be filled afterward, if it began empty it needs exactly $3$ filled neighbors, and if it began filled it needs $2$ or $3.$

Every other square must end empty. The key restriction is that no border square may acquire exactly three filled neighbors, which rules out filling all three squares along an outer edge of the $3 \times 3.$

If the center starts empty, exactly $3$ of its $8$ neighbors must be filled. Checking these triples up to square symmetry leaves four types. With ring coordinates centered at $(0,0),$ representatives are $\begin{gathered} \{(-1,-1),(-1,0),(1,1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,-1)\},\\ \{(-1,-1),(-1,1),(1,0)\},\\ \{(-1,-1),(0,1),(1,0)\}. \end{gathered}$ Their symmetry-orbit sizes are $8,4,4,4,$ giving $20$ configurations.

If the center starts filled, the same neighbor check leaves only the two configurations in which the other filled cells are opposite corner neighbors. Hence the total is $20+2=22.$

Thus, the correct answer is C.

19.

En $\triangle ABC$ las medianas $\overline{AD}$ y $\overline{BE}$ se cortan en $G$ y $\triangle AGE$ es equilátero. Entonces $\cos(C)$ se puede escribir como $\dfrac{m\sqrt p}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí y $p$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m + n + p$ ?

In $\triangle ABC$ medians $\overline{AD}$ and $\overline{BE}$ intersect at $G$ and $\triangle AGE$ is equilateral. Then $\cos(C)$ can be written as $\dfrac{m\sqrt p}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers and $p$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. What is $m + n + p?$

$44$

$48$

$52$

$56$

$60$

Conceptos:mediana (geometría)baricentro ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

El baricentro divide $AD$ de modo que $AG = \tfrac23 AD,$ y $GE = \tfrac13 BE;$ además $AE = \tfrac12 AC$ .

The centroid splits $AD$ so $AG = \tfrac23 AD,$ and $GE = \tfrac13 BE;$ also $AE = \tfrac12 AC$

Pista grande:

Iguala las tres y usa la fórmula de la longitud de la mediana para relacionar los lados, y luego aplica la ley de los cosenos.

Set all three equal and use the median-length formula to relate the sides, then apply the law of cosines

Solución:

Sea $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ Como $E$ es el punto medio de $AC,$ $AE = \tfrac{b}{2}.$ El baricentro da $AG = \tfrac23 m_a$ y $GE = \tfrac13 m_b,$ donde $m_a, m_b$ son las medianas desde $A$ y $B.$

Que $\triangle AGE$ sea equilátero significa $AG = GE = AE.$ De $\tfrac23 m_a = \tfrac{b}{2}$ obtenemos $m_a = \tfrac34 b,$ que junto con $m_a^2 = \tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$ da $2c^2 - a^2 = \tfrac{b^2}{4}.$ De $\tfrac13 m_b = \tfrac{b}{2}$ obtenemos $m_b = \tfrac32 b,$ lo que da $a^2 + c^2 = 5b^2.$

Resolviendo, $c^2 = \tfrac{7b^2}{4}$ y $a^2 = \tfrac{13b^2}{4}.$ Tomando $b = 2$ se obtiene $a^2 = 13,$ $c^2 = 7,$ así que $\begin{aligned} \cos C &= \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\ &= \dfrac{13 + 4 - 7}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot 2} \\ &= \dfrac{5\sqrt{13}}{26}. \end{aligned}$

Entonces $m + n + p = 5 + 26 + 13 = 44.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ Since $E$ is the midpoint of $AC,$ $AE = \tfrac{b}{2}.$ The centroid gives $AG = \tfrac23 m_a$ and $GE = \tfrac13 m_b,$ where $m_a, m_b$ are the medians from $A$ and $B.$

Equilateral $\triangle AGE$ means $AG = GE = AE.$ From $\tfrac23 m_a = \tfrac{b}{2}$ we get $m_a = \tfrac34 b,$ which with $m_a^2 = \tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$ gives $2c^2 - a^2 = \tfrac{b^2}{4}.$ From $\tfrac13 m_b = \tfrac{b}{2}$ we get $m_b = \tfrac32 b,$ giving $a^2 + c^2 = 5b^2.$

Solving, $c^2 = \tfrac{7b^2}{4}$ and $a^2 = \tfrac{13b^2}{4}.$ Taking $b = 2$ gives $a^2 = 13,$ $c^2 = 7,$ so $\begin{aligned} \cos C &= \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \\ &= \dfrac{13 + 4 - 7}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot 2} \\ &= \dfrac{5\sqrt{13}}{26}. \end{aligned}$

Then $m + n + p = 5 + 26 + 13 = 44.$

Thus, the correct answer is A.

20.

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes racionales tal que, cuando $P(x)$ se divide entre el polinomio $x^2 + x + 1,$ el residuo es $x + 2,$ y cuando $P(x)$ se divide entre el polinomio $x^2 + 1,$ el residuo es $2x + 1.$ Existe un único polinomio de menor grado con estas dos propiedades. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los coeficientes de ese polinomio?

Let $P(x)$ be a polynomial with rational coefficients such that when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2 + x + 1,$ the remainder is $x + 2,$ and when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2 + 1,$ the remainder is $2x + 1.$ There is a unique polynomial of least degree with these two properties. What is the sum of the squares of the coefficients of that polynomial?

$10$

$13$

$19$

$20$

$23$

Conceptos:polinomio Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 2020

Pista pequeña:

El polinomio de menor grado es cúbico; escríbelo como $P(x) = x + 2$ $+ (x^2 + x + 1)(px + q)$ .

The least-degree polynomial is a cubic; write $P(x) = x + 2$ $+ (x^2 + x + 1)(px + q)$

Pista grande:

Reduce esa expresión módulo $x^2 + 1$ usando $x^2 \equiv -1,$ e iguálala a $2x + 1$ .

Reduce that expression modulo $x^2 + 1$ using $x^2 \equiv -1,$ and match it to $2x + 1$

Solución:

Ningún polinomio lineal puede tener los dos residuos distintos. Si $P(x)=ax^2+bx+c$ fuera cuadrático, al comparar sus residuos se obtendrían simultáneamente $b-a=1,\ c-a=2$ y $b=2,\ c-a=1,$ una contradicción. Por tanto, el menor grado posible es $3.$ Escribamos $P(x) = (x + 2)$ $+ (x^2 + x + 1)(px + q),$ que tiene residuo $x + 2$ al dividir entre $x^2 + x + 1.$

Al reducir módulo $x^2 + 1$ (de modo que $x^2 \equiv -1$ ) se obtiene el residuo $(q + 1)x + (2 - p).$ Al igualarlo a $2x + 1$ , se obtiene $q = 1$ y $p = 1.$

Entonces $P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3,$ y la suma de los cuadrados de los coeficientes es $1 + 4 + 9 + 9 = 23.$

Así, la respuesta correcta es E.

No linear polynomial can have the two different remainders. If $P(x)=ax^2+bx+c$ were quadratic, comparing its remainders would give both $b-a=1,\ c-a=2$ and $b=2,\ c-a=1,$ a contradiction. Thus the least possible degree is $3.$ Write $P(x) = (x + 2)$ $+ (x^2 + x + 1)(px + q),$ which has remainder $x + 2$ upon division by $x^2 + x + 1.$

Reducing modulo $x^2 + 1$ (so $x^2 \equiv -1$ ) gives remainder $(q + 1)x + (2 - p).$ Setting this equal to $2x + 1$ gives $q = 1$ and $p = 1.$

Then $P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3,$ and the sum of the squares of the coefficients is $1 + 4 + 9 + 9 = 23.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Sea $S$ el conjunto de circunferencias del plano de coordenadas que son tangentes a cada una de las tres circunferencias de ecuaciones $x^2 + y^2 = 4,$ $x^2 + y^2 = 64,$ y $(x - 5)^2 + y^2 = 3.$ ¿Cuál es la suma de las áreas de todas las circunferencias de $S$ ?

Let $S$ be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations $x^2 + y^2 = 4,$ $x^2 + y^2 = 64,$ and $(x - 5)^2 + y^2 = 3.$ What is the sum of the areas of all circles in $S?$

$48\pi$

$68\pi$

$96\pi$

$102\pi$

$136\pi$

Conceptos:circunferencias tangentes área del círculo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Una circunferencia tangente a las dos circunferencias concéntricas (radios $2$ y $8$ ) tiene radio $3$ o radio $5$ .

A circle tangent to both concentric circles (radii $2$ and $8$ ) has radius $3$ or radius $5$

Pista grande:

Las circunferencias de radio $3$ tienen centros sobre la circunferencia de radio $5;$ las de radio $5$ sobre la circunferencia de radio $3.$ Cuenta cuántas de cada una son también tangentes a la tercera circunferencia.

The radius- $3$ circles have centers on the circle of radius $5;$ the radius- $5$ circles on the circle of radius $3.$ Count how many of each are also tangent to the third circle

Solución:

Los dos primeros círculos son concéntricos y tienen radios $2$ y $8.$ Un círculo tangente a ambos tiene radio $3$ y su centro está a distancia $5$ del origen, o tiene radio $5$ y su centro está a distancia $3$ del origen.

El tercer círculo tiene centro $(5, 0)$ y radio $\sqrt3.$ Para cada radio candidato $s\in\{3,5\},$ la tangencia exige que la distancia de su centro a $(5,0)$ sea $s+\sqrt3$ o $s-\sqrt3.$ Cada uno de estos dos círculos de distancias corta al lugar geométrico correspondiente de los centros en dos puntos simétricos. Por tanto, funcionan exactamente cuatro círculos de radio $3$ y cuatro de radio $5$ .

La suma de sus áreas es $4 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2$ $= 36\pi + 100\pi = 136\pi.$

Así, la respuesta correcta es E.

The first two circles are concentric with radii $2$ and $8.$ A circle tangent to both either has radius $3$ with center at distance $5$ from the origin, or radius $5$ with center at distance $3$ from the origin.

The third circle has center $(5, 0)$ and radius $\sqrt3.$ For each candidate radius $s\in\{3,5\},$ tangency requires the center’s distance from $(5,0)$ to be $s+\sqrt3$ or $s-\sqrt3.$ Each of these two distance circles intersects the appropriate center-locus in two symmetric points. Hence exactly four radius- $3$ circles and four radius- $5$ circles work.

The sum of the areas is $4 \cdot \pi(3)^2 + 4 \cdot \pi(5)^2$ $= 36\pi + 100\pi = 136\pi.$

Thus, the correct answer is E.

22.

La hormiga Amelia comienza en la recta numérica en $0$ y se arrastra de la siguiente manera. Para $n = 1,$ $2,$ $3,$ Amelia elige una duración de tiempo $t_n$ y un incremento $x_n$ de forma independiente y uniforme al azar del intervalo $(0, 1).$ Durante el $n$ -ésimo paso del proceso, Amelia se mueve $x_n$ unidades en la dirección positiva, empleando $t_n$ minutos. Si el tiempo total transcurrido ha superado $1$ minuto durante el $n$ -ésimo paso, se detiene al final de ese paso; de lo contrario, continúa con el siguiente paso, dando a lo sumo $3$ pasos en total. ¿Cuál es la probabilidad de que la posición de Amelia cuando se detenga sea mayor que $1$ ?

Ant Amelia starts on the number line at $0$ and crawls in the following manner. For $n = 1,$ $2,$ $3,$ Amelia chooses a time duration $t_n$ and an increment $x_n$ independently and uniformly at random from the interval $(0, 1).$ During the $n$ th step of the process, Amelia moves $x_n$ units in the positive direction, using up $t_n$ minutes. If the total elapsed time has exceeded $1$ minute during the $n$ th step, she stops at the end of that step; otherwise, she continues with the next step, taking at most $3$ steps in all. What is the probability that Amelia’s position when she stops will be greater than $1?$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac34$

$\dfrac56$

Conceptos:probabilidad geométrica eventos independientes

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Como cada $t_n \lt 1,$ siempre da al menos dos pasos; da exactamente dos si y solo si $t_1 + t_2 \gt 1$ .

Since each $t_n \lt 1,$ she always takes at least two steps; she takes exactly two iff $t_1 + t_2 \gt 1$

Pista grande:

Los tiempos son independientes de los incrementos; usa $P(x_1 + x_2 \gt 1) = \tfrac12$ y $P(x_1 + x_2 + x_3 \gt 1) = \tfrac56$ .

The times are independent of the increments; use $P(x_1 + x_2 \gt 1) = \tfrac12$ and $P(x_1 + x_2 + x_3 \gt 1) = \tfrac56$

Solución:

Como cada $t_n \lt 1,$ Amelia siempre completa al menos dos pasos. Se detiene tras exactamente dos pasos cuando $t_1 + t_2 \gt 1,$ lo que ocurre con probabilidad $\tfrac12;$ de lo contrario da los tres pasos.

Los incrementos son independientes de los tiempos. Si da dos pasos, su posición es $x_1 + x_2,$ y $P(x_1 + x_2 \gt 1) = \tfrac12.$ Si da tres, su posición es $x_1 + x_2 + x_3,$ y $P(x_1 + x_2 + x_3 \gt 1)$ $= 1 - \tfrac16 = \tfrac56.$

La respuesta es $\tfrac12 \cdot \tfrac12 + \tfrac12 \cdot \tfrac56 = \tfrac14 + \tfrac{5}{12} = \tfrac23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because each $t_n \lt 1,$ Amelia always completes at least two steps. She stops after exactly two steps when $t_1 + t_2 \gt 1,$ which happens with probability $\tfrac12;$ otherwise she takes all three steps.

The increments are independent of the times. If she takes two steps, her position is $x_1 + x_2,$ and $P(x_1 + x_2 \gt 1) = \tfrac12.$ If she takes three, her position is $x_1 + x_2 + x_3,$ and $P(x_1 + x_2 + x_3 \gt 1)$ $= 1 - \tfrac16 = \tfrac56.$

The answer is $\tfrac12 \cdot \tfrac12 + \tfrac12 \cdot \tfrac56 = \tfrac14 + \tfrac{5}{12} = \tfrac23.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Sea $x_0,$ $x_1,$ $x_2,$ $\ldots$ una sucesión de números, donde cada $x_k$ es $0$ o $1.$ Para cada entero positivo $n,$ define $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k.$ Supón que $7 S_n \equiv 1 \pmod{2^n}$ para todo $n \ge 1.$ ¿Cuál es el valor de la suma $x_{2019} + 2x_{2020} + 4x_{2021} + 8x_{2022}?$

Let $x_0,$ $x_1,$ $x_2,$ $\ldots$ be a sequence of numbers, where each $x_k$ is either $0$ or $1.$ For each positive integer $n,$ define $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k.$ Suppose $7 S_n \equiv 1 \pmod{2^n}$ for all $n \ge 1.$ What is the value of the sum $x_{2019} + 2x_{2020} + 4x_{2021} + 8x_{2022}?$

$6$

$7$

$12$

$14$

$15$

Conceptos:aritmética modular base numérica reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

$S_n$ es el número formado por los $n$ bits bajos; la condición dice $S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}$ .

$S_n$ is the number formed by the low $n$ bits; the condition says $S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}$

Pista grande:

Así, los bits $x_k$ son los dígitos binarios (2-ádicos) de $\tfrac17;$ halla su patrón periódico.

So the bits $x_k$ are the binary (2-adic) digits of $\tfrac17;$ find their repeating pattern

Solución:

Como $S_n$ es el entero formado por los $n$ bits bajos, la condición $7S_n \equiv 1$ significa $S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}$ para todo $n.$ Así, los dígitos $x_k$ son los dígitos en base $2$ de $\tfrac17$ como número $2$ -ádico.

La división larga en base $2$ da los dígitos $x_0 = x_1 = x_2 = 1,$ y a partir de ahí el bloque se repite con periodo $3:$ para $k \ge 1,$ $x_k = 0$ exactamente cuando $k$ es divisible por $3,$ y $x_k = 1$ en caso contrario.

Como $2019$ y $2022$ son ambos divisibles por $3,$ mientras que $2020 \equiv 1$ y $2021 \equiv 2 \pmod 3,$ obtenemos $x_{2019} = 0,$ $x_{2020} = 1,$ $x_{2021} = 1,$ $x_{2022} = 0.$ La suma es $0 + 2 + 4 + 0 = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $S_n$ is the integer formed by the low $n$ bits, the condition $7S_n \equiv 1$ means $S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}$ for every $n.$ Thus the digits $x_k$ are the base- $2$ digits of $\tfrac17$ as a $2$ -adic number.

Long division in base $2$ gives digits $x_0 = x_1 = x_2 = 1,$ and thereafter the block repeats with period $3:$ for $k \ge 1,$ $x_k = 0$ exactly when $k$ is divisible by $3,$ and $x_k = 1$ otherwise.

Since $2019$ and $2022$ are both divisible by $3,$ while $2020 \equiv 1$ and $2021 \equiv 2 \pmod 3,$ we get $x_{2019} = 0,$ $x_{2020} = 1,$ $x_{2021} = 1,$ $x_{2022} = 0.$ The sum is $0 + 2 + 4 + 0 = 6.$

Thus, the correct answer is A.

24.

La figura de abajo representa un $7$ -gono regular inscrito en una circunferencia unitaria.

¿Cuál es la suma de las $4$ -ésimas potencias de las longitudes de las $21$ aristas y diagonales?

The figure below depicts a regular $7$ -gon inscribed in a unit circle.

What is the sum of the $4$ th powers of the lengths of all $21$ of its edges and diagonals?

$49$

$98$

$147$

$168$

$196$

Conceptos:cuerda raíces de la unidad identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Una cuerda entre vértices separados $d$ tiene longitud al cuadrado $2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7};$ hay $7$ de cada tipo $d = 1, 2, 3$ .

A chord between vertices $d$ apart has squared length $2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7};$ there are $7$ of each type $d = 1, 2, 3$

Pista grande:

Usa $\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12$ para evaluar $\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2$ .

Use $\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12$ to evaluate $\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2$

Solución:

Una cuerda que une dos vértices separados $d$ pasos tiene longitud al cuadrado $2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7},$ y hay $7$ cuerdas para cada $d = 1, 2, 3.$ La suma buscada es $7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.$

Usando $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12$ y $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54,$ la suma interior se expande a $4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.$

Por lo tanto, el total es $7 \cdot 21 = 147.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A chord joining two vertices $d$ steps apart has squared length $2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7},$ and there are $7$ chords for each of $d = 1, 2, 3.$ The required sum is $7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.$

Using $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12$ and $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54,$ the inner sum expands to $4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.$

Therefore the total is $7 \cdot 21 = 147.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Cuatro hexágonos regulares rodean un cuadrado de lado $1,$ cada uno compartiendo una arista con el cuadrado, como se muestra en la figura de abajo. El área del polígono exterior no convexo de $12$ lados resultante se puede escribir como $m\sqrt n + p,$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m + n + p$ ?

Four regular hexagons surround a square with a side length $1,$ each one sharing an edge with the square, as shown in the figure below. The area of the resulting $12$ -sided outer nonconvex polygon can be written as $m\sqrt n + p,$ where $m,$ $n,$ and $p$ are integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $m + n + p?$

$-12$

$-4$

$4$

$24$

$32$

Conceptos:polígono regular geometría analítica fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Cada hexágono comparte una arista con el cuadrado y se extiende hasta el lado opuesto; establece coordenadas con el cuadrado centrado en el origen.

Each hexagon shares an edge with the square and reaches across to the far side; set up coordinates with the square centered at the origin

Pista grande:

La frontera exterior tiene aristas planas a distancia $\sqrt3 - \tfrac12$ y muescas entrantes donde se cruzan las aristas de hexágonos adyacentes, en $\left(\tfrac52 - \sqrt3,\ \tfrac52 - \sqrt3\right)$ .

The outer boundary has flat edges at distance $\sqrt3 - \tfrac12$ and reflex notches where adjacent hexagons’ edges cross, at $\left(\tfrac52 - \sqrt3,\ \tfrac52 - \sqrt3\right)$

Solución:

Centra el cuadrado en el origen con vértices $\left(\pm\tfrac12, \pm\tfrac12\right).$ Cada hexágono comparte una arista con el cuadrado y se extiende hasta el lado opuesto; el hexágono del borde inferior, por ejemplo, tiene su arista lejana (superior) desde $\left(-\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right)$ hasta $\left(\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right).$

La frontera exterior es un $12$ -gono con aristas planas a distancia $\sqrt3 - \tfrac12$ del centro, vértices convexos como $\left(\sqrt3 - \tfrac12, \tfrac12\right),$ y cuatro muescas entrantes donde se encuentran las aristas inclinadas de hexágonos adyacentes, en $\left(\tfrac52 - \sqrt3, \tfrac52 - \sqrt3\right)$ y sus imágenes simétricas.

Aplicando la fórmula del cordón de zapato a estos $12$ vértices se obtiene el área $16\sqrt3 - 23,$ así que $m = 16,$ $n = 3,$ $p = -23,$ y $m + n + p = -4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Center the square at the origin with vertices $\left(\pm\tfrac12, \pm\tfrac12\right).$ Each hexagon shares one edge with the square and extends across to the opposite side; the hexagon on the bottom edge, for instance, has its far (top) edge from $\left(-\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right)$ to $\left(\tfrac12, \sqrt3 - \tfrac12\right).$

The outer boundary is a $12$ -gon with flat edges at distance $\sqrt3 - \tfrac12$ from the center, convex vertices such as $\left(\sqrt3 - \tfrac12, \tfrac12\right),$ and four reflex notches where adjacent hexagons’ slanted edges meet, at $\left(\tfrac52 - \sqrt3, \tfrac52 - \sqrt3\right)$ and its symmetric images.

Applying the shoelace formula to these $12$ vertices gives area $16\sqrt3 - 23,$ so $m = 16,$ $n = 3,$ $p = -23,$ and $m + n + p = -4.$

Thus, the correct answer is B.