Question

El cuadrado $EFGH$ está dentro del cuadrado $ABCD$ de modo que cada lado de $EFGH$ puede extenderse para pasar por un vértice de $ABCD.$ El cuadrado $ABCD$ tiene lado $\sqrt{50},$ $E$ está entre $B$ y $H,$ y $BE = 1.$ ¿Cuál es el área del cuadrado interior $EFGH$ ?

Square $EFGH$ is inside square $ABCD$ so that each side of $EFGH$ can be extended to pass through a vertex of $ABCD.$ Square $ABCD$ has side length $\sqrt{50},$ $E$ is between $B$ and $H,$ and $BE = 1.$ What is the area of the inner square $EFGH?$

$25$

$32$

$36$

$40$

$42$

Solución:

Por la simetría de la figura, los triángulos $ABH,$ $BCE,$ $CDF,$ y $DAG$ son triángulos rectángulos congruentes. Por lo tanto $\begin{aligned} &BH = CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} \\ &= \sqrt{50 - 1} = 7. \end{aligned}$

Como $E$ está entre $B$ y $H,$ el lado del cuadrado interior es $EH = BH - BE = 7 - 1 = 6.$

Por lo tanto el área de $EFGH$ es $6^2 = 36.$

Así, la respuesta correcta es C.

By the symmetry of the figure, triangles $ABH,$ $BCE,$ $CDF,$ and $DAG$ are congruent right triangles. Hence $\begin{aligned} &BH = CE = \sqrt{BC^2 - BE^2} \\ &= \sqrt{50 - 1} = 7. \end{aligned}$

Since $E$ lies between $B$ and $H,$ the side of the inner square is $EH = BH - BE = 7 - 1 = 6.$

Therefore the area of $EFGH$ is $6^2 = 36.$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años