Question

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ y $e$ cinco términos consecutivos de una progresión aritmética, y supongamos que $a+b+c+d+e=30.$ ¿Cuál de las siguientes se puede determinar?

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ be five consecutive terms in an arithmetic sequence, and suppose that $a+b+c+d+e=30.$ Which of the following can be found?

$a$

$b$

$c$

$d$

$e$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Escribe los cinco términos como $c-2D,\ c-D,\ c,$ $\ c+D,\ c+2D$ para una diferencia común $D$ .

Write the five terms as $c-2D,\ c-D,\ c,$ $\ c+D,\ c+2D$ for a common difference $D$

Pista grande:

La suma se reduce a $5c,$ mientras que los términos externos siguen dependiendo de la incógnita $D$ .

The sum collapses to $5c,$ while the outer terms still depend on the unknown $D$

Solución:

Sea $D$ la diferencia común. Entonces $a=c-2D,$ $b=c-D,$ $d=c+D,$ y $e=c+2D,$ así que $a+b+c+d+e=5c.$

Así que $5c=30,$ lo que da $c=6.$

Los demás términos no pueden determinarse: las sucesiones $4,5,6,7,8$ y $10,8,6,4,2$ satisfacen ambas las condiciones pero difieren en todos los términos salvo el del medio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $D$ be the common difference. Then $a=c-2D,$ $b=c-D,$ $d=c+D,$ and $e=c+2D,$ so $a+b+c+d+e=5c.$

Thus $5c=30,$ giving $c=6.$

The other terms cannot be determined: the sequences $4,5,6,7,8$ and $10,8,6,4,2$ both satisfy the conditions but differ in every term except the middle one.

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12A Problema 7

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años