Question

Una organización benéfica vende $140$ boletos benéficos por un total de $\$2001.$ Algunos boletos se venden a precio completo (una cantidad entera de dólares), y el resto se vende a mitad de precio. ¿Cuánto dinero recaudan los boletos a precio completo?

A charity sells $140$ benefit tickets for a total of $\$2001.$ Some tickets sell for full price (a whole dollar amount), and the rest sell for half price. How much money is raised by the full-price tickets?

$\$782$

$\$986$

$\$1158$

$\$1219$

$\$1449$

Respuesta: A

Conceptos:Ecuación diofántica factorización en primos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Con $n$ boletos a precio completo a un precio $p,$ el total es $np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001$

With $n$ full-price tickets at price $p,$ the total is $np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001$

Pista grande:

Esto se convierte en $p(n + 140)$ $= 4002$ $= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29,$ y $n + 140$ está entre $140$ y $280$

This becomes $p(n + 140)$ $= 4002$ $= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29,$ and $n + 140$ lies between $140$ and $280$

Solución:

Supongamos que $n$ boletos se venden a precio completo de $p$ dólares. Entonces $np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001,$ así que $p(n + 140)$ $= 4002$ $= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29.$

Como $0 \le n \le 140,$ necesitamos un factor de $4002$ con $140 \le n + 140 \le 280.$ El único factor así es $174 = 2 \cdot 3 \cdot 29,$ que da $n = 34$ y $p = 23.$

Los boletos a precio completo recaudan $34 \cdot 23 = 782$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $n$ tickets sell at full price $p$ dollars. Then $np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001,$ so $p(n + 140)$ $= 4002$ $= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29.$

Since $0 \le n \le 140,$ we need a factor of $4002$ with $140 \le n + 140 \le 280.$ The only such factor is $174 = 2 \cdot 3 \cdot 29,$ giving $n = 34$ and $p = 23.$

The full-price tickets raise $34 \cdot 23 = 782$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

2001 AMC 12 Problema 7

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años