Soluciones del 2001 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La suma de dos números es $S.$ Supongamos que se suma $3$ a cada número y luego cada uno de los números resultantes se duplica. ¿Cuál es la suma de los dos números finales?

The sum of two numbers is $S.$ Suppose $3$ is added to each number and then each of the resulting numbers is doubled. What is the sum of the final two numbers?

$2S + 3$

$3S + 2$

$3S + 6$

$2S + 6$

$2S + 12$

Conceptos:manipulación algebraica propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 950

Solución:

Sumar $3$ a cada número eleva la suma de $S$ a $S + 6.$ Duplicar cada número duplica la suma, lo que da $2(S + 6) = 2S + 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding $3$ to each number raises the sum from $S$ to $S + 6.$ Doubling each number doubles the sum, giving $2(S + 6) = 2S + 12.$

Thus, the correct answer is E.

2.

Sean $P(n)$ y $S(n)$ el producto y la suma, respectivamente, de los dígitos del entero $n.$ Por ejemplo, $P(23) = 6$ y $S(23) = 5.$ Supongamos que $N$ es un número de dos dígitos tal que $N = P(N) + S(N).$ ¿Cuál es el dígito de las unidades de $N$ ?

Let $P(n)$ and $S(n)$ denote the product and the sum, respectively, of the digits of the integer $n.$ For example, $P(23) = 6$ and $S(23) = 5.$ Suppose $N$ is a two-digit number such that $N = P(N) + S(N).$ What is the units digit of $N?$

$2$

$3$

$6$

$8$

$9$

Conceptos:dígitos valor posicional

Nivel de dificultad: 1080

Solución:

Escribe $N = 10a + b.$ Entonces $P(N) = ab$ y $S(N) = a + b,$ así que $10a + b = ab + a + b.$ Esto se reduce a $9a = ab.$ Como $a \neq 0,$ podemos dividir entre $a$ para obtener $b = 9.$

El dígito de las unidades de $N$ es $9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $N = 10a + b.$ Then $P(N) = ab$ and $S(N) = a + b,$ so $10a + b = ab + a + b.$ This reduces to $9a = ab.$ Since $a \neq 0,$ we can divide by $a$ to get $b = 9.$

The units digit of $N$ is $9.$

Thus, the correct answer is E.

3.

El impuesto estatal sobre la renta donde vive Kristin se aplica a una tasa de $p\%$ sobre los primeros $\$28000$ del ingreso anual más $(p + 2)\%$ sobre cualquier cantidad por encima de $\$28000.$ Kristin notó que el impuesto estatal sobre la renta que pagó equivalía al $(p + 0.25)\%$ de su ingreso anual. ¿Cuál fue su ingreso anual?

The state income tax where Kristin lives is levied at the rate of $p\%$ of the first $\$28000$ of annual income plus $(p + 2)\%$ of any amount above $\$28000.$ Kristin noticed that the state income tax she paid amounted to $(p + 0.25)\%$ of her annual income. What was her annual income?

$\$28000$

$\$32000$

$\$35000$

$\$42000$

$\$56000$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Sea su ingreso $x \gt 28000$ dólares. Escribiendo el impuesto con ambas descripciones y multiplicando por $100,$ $\begin{aligned} &p \cdot 28000 \\ &\quad {}+ (p + 2)(x - 28000) \\ &= (p + 0.25)x. \end{aligned}$

Al expandir, cada término que contiene $p$ se cancela, dejando $2x - 56000 = 0.25x,$ así que $1.75x = 56000$ y $x = 32000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let her income be $x \gt 28000$ dollars. Writing the tax with both descriptions and multiplying by $100,$ $\begin{aligned} &p \cdot 28000 \\ &\quad {}+ (p + 2)(x - 28000) \\ &= (p + 0.25)x. \end{aligned}$

Expanding, every term containing $p$ cancels, leaving $2x - 56000 = 0.25x,$ so $1.75x = 56000$ and $x = 32000.$

Thus, the correct answer is B.

4.

La media de tres números es $10$ más que el menor de los números y $15$ menos que el mayor. La mediana de los tres números es $5.$ ¿Cuál es su suma?

The mean of three numbers is $10$ more than the least of the numbers and $15$ less than the greatest. The median of the three numbers is $5.$ What is their sum?

$5$

$20$

$25$

$30$

$36$

Conceptos:media mediana (datos)ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

Sea $m$ la media. El número menor es $m - 10,$ el mayor es $m + 15,$ y el número del medio es la mediana $5.$ Su suma es $3m,$ así que $(m - 10) + 5 + (m + 15) = 3m.$

Esto da $m = 10,$ así que la suma de los tres números es $3m = 30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $m$ be the mean. The least number is $m - 10,$ the greatest is $m + 15,$ and the middle number is the median $5.$ Their sum is $3m,$ so $(m - 10) + 5 + (m + 15) = 3m.$

This gives $m = 10,$ so the sum of the three numbers is $3m = 30.$

Thus, the correct answer is D.

5.

¿Cuál es el producto de todos los enteros positivos impares menores que $10{,}000$ ?

What is the product of all positive odd integers less than $10{,}000?$

$\dfrac{10000!}{(5000!)^2}$

$\dfrac{10000!}{2^{5000}}$

$\dfrac{9999!}{2^{5000}}$

$\dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}$

$\dfrac{5000!}{2^{5000}}$

Conceptos:factorial manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

El producto de todos los enteros de $1$ a $10000$ es $10000!,$ así que el producto de los impares es $10000!$ dividido entre el producto de los pares.

Los números pares se factorizan como $\begin{gathered} 2 \cdot 4 \cdots 10000 \\ = 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000) \\ = 2^{5000} \cdot 5000!. \end{gathered}$

En consecuencia, el producto de los enteros impares es $\dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The product of every integer from $1$ to $10000$ is $10000!,$ so the product of the odd ones is $10000!$ divided by the product of the even ones.

The even numbers factor as $\begin{gathered} 2 \cdot 4 \cdots 10000 \\ = 2^{5000}(1 \cdot 2 \cdots 5000) \\ = 2^{5000} \cdot 5000!. \end{gathered}$

Therefore the product of the odd integers is $\dfrac{10000!}{2^{5000} \cdot 5000!}.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Un número de teléfono tiene la forma $ABC - DEF - GHIJ,$ donde cada letra representa un dígito diferente. Los dígitos en cada parte del número están en orden decreciente; es decir, $A \gt B \gt C,$ $D \gt E \gt F,$ y $G \gt H \gt I \gt J.$ Además, $D,$ $E,$ y $F$ son dígitos pares consecutivos; $G,$ $H,$ $I,$ y $J$ son dígitos impares consecutivos; y $A + B + C = 9.$ Halla $A.$

A telephone number has the form $ABC - DEF - GHIJ,$ where each letter represents a different digit. The digits in each part of the number are in decreasing order; that is, $A \gt B \gt C,$ $D \gt E \gt F,$ and $G \gt H \gt I \gt J.$ Furthermore, $D,$ $E,$ and $F$ are consecutive even digits; $G,$ $H,$ $I,$ and $J$ are consecutive odd digits; and $A + B + C = 9.$ Find $A.$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:dígitos deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

Los cuatro dígitos impares consecutivos decrecientes $GHIJ$ son $9753$ o $7531,$ dejando un dígito impar ( $1$ o $9$ ) para $ABC.$

Como $A + B + C = 9$ y los otros dos dígitos de $ABC$ son pares, el dígito impar debe ser $1$ (un $9$ obligaría a que los dos dígitos pares sumaran $0$ ). Así que los dos dígitos pares suman $8.$

Los tres dígitos pares consecutivos decrecientes $DEF$ son $864,$ $642,$ o $420,$ dejando los pares de dígitos pares $\{2, 0\},$ $\{8, 0\},$ o $\{8, 6\}$ para $ABC.$ Solo $\{8, 0\}$ suma $8,$ así que $ABC = 810$ y $A = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The four consecutive decreasing odd digits $GHIJ$ are either $9753$ or $7531,$ leaving one odd digit ( $1$ or $9$ ) for $ABC.$

Since $A + B + C = 9$ and the other two digits of $ABC$ are even, the odd digit must be $1$ (a $9$ would force the two even digits to sum to $0$ ). So the two even digits sum to $8.$

The three consecutive decreasing even digits $DEF$ are $864,$ $642,$ or $420,$ leaving the even pairs $\{2, 0\},$ $\{8, 0\},$ or $\{8, 6\}$ for $ABC.$ Only $\{8, 0\}$ sums to $8,$ so $ABC = 810$ and $A = 8.$

Thus, the correct answer is E.

7.

Una organización benéfica vende $140$ boletos benéficos por un total de $\$2001.$ Algunos boletos se venden a precio completo (una cantidad entera de dólares), y el resto se vende a mitad de precio. ¿Cuánto dinero recaudan los boletos a precio completo?

A charity sells $140$ benefit tickets for a total of $\$2001.$ Some tickets sell for full price (a whole dollar amount), and the rest sell for half price. How much money is raised by the full-price tickets?

$\$782$

$\$986$

$\$1158$

$\$1219$

$\$1449$

Conceptos:Ecuación diofántica factorización en primos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Supongamos que $n$ boletos se venden a precio completo de $p$ dólares. Entonces $np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001,$ así que $p(n + 140)$ $= 4002$ $= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29.$

Como $0 \le n \le 140,$ necesitamos un factor de $4002$ con $140 \le n + 140 \le 280.$ El único factor así es $174 = 2 \cdot 3 \cdot 29,$ que da $n = 34$ y $p = 23.$

Los boletos a precio completo recaudan $34 \cdot 23 = 782$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $n$ tickets sell at full price $p$ dollars. Then $np + (140 - n)\dfrac{p}{2} = 2001,$ so $p(n + 140)$ $= 4002$ $= 2 \cdot 3 \cdot 23 \cdot 29.$

Since $0 \le n \le 140,$ we need a factor of $4002$ with $140 \le n + 140 \le 280.$ The only such factor is $174 = 2 \cdot 3 \cdot 29,$ giving $n = 34$ and $p = 23.$

The full-price tickets raise $34 \cdot 23 = 782$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

8.

¿Cuál de los siguientes conos se puede formar a partir de un sector de $252^\circ$ de un círculo de radio $10$ al alinear los dos lados rectos?

Which of the cones below can be formed from a $252^\circ$ sector of a circle of radius $10$ by aligning the two straight sides?

Conceptos:cono arco circunferencia

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Cuando el sector se enrolla en un cono, su radio $10$ se convierte en la generatriz, y su arco se convierte en el círculo de la base.

La longitud del arco es $\dfrac{252}{360}\cdot 2\pi(10) = \dfrac{7}{10}\cdot 20\pi = 14\pi,$ así que la circunferencia de la base es $14\pi$ y el radio de la base es $7.$

Por lo tanto, el cono tiene radio de base $7$ y generatriz $10,$ que es la opción C.

Así, la respuesta correcta es C.

When the sector is rolled into a cone, its radius $10$ becomes the slant height, and its arc becomes the base circle.

The arc length is $\dfrac{252}{360}\cdot 2\pi(10) = \dfrac{7}{10}\cdot 20\pi = 14\pi,$ so the base circumference is $14\pi$ and the base radius is $7.$

The cone therefore has base radius $7$ and slant height $10,$ which is choice C.

Thus, the correct answer is C.

9.

Sea $f$ una función que satisface $f(xy) = \dfrac{f(x)}{y}$ para todos los números reales positivos $x$ y $y.$ Si $f(500) = 3,$ ¿cuál es el valor de $f(600)$ ?

Let $f$ be a function satisfying $f(xy) = \dfrac{f(x)}{y}$ for all positive real numbers $x$ and $y.$ If $f(500) = 3,$ what is the value of $f(600)?$

$1$

$2$

$\dfrac{5}{2}$

$3$

$\dfrac{18}{5}$

Conceptos:ecuación funcional sustitución

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Elige $x = 500$ y $y = \dfrac{6}{5}$ de modo que $xy = 600.$ Entonces $f(600) = \dfrac{f(500)}{6/5} = \dfrac{3}{6/5} = \dfrac{5}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Choose $x = 500$ and $y = \dfrac{6}{5}$ so that $xy = 600.$ Then $f(600) = \dfrac{f(500)}{6/5} = \dfrac{3}{6/5} = \dfrac{5}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

10.

El plano está teselado por cuadrados congruentes y pentágonos congruentes como se indica. El porcentaje del plano que está encerrado por los pentágonos es lo más cercano a

The plane is tiled by congruent squares and congruent pentagons as indicated. The percent of the plane that is enclosed by the pentagons is closest to

$50$

$52$

$54$

$56$

$58$

Conceptos:teselado área porcentaje

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

El patrón se repite sobre un bloque $3 \times 3$ de nueve cuadrados unitarios. Cuatro de estos nueve cuadrados no están cubiertos por pentágonos; el resto del área pertenece a los pentágonos.

Así que los pentágonos encierran $1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} = 55.5\overline{5}\%,$ lo cual es lo más cercano a $56.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The pattern repeats over a $3 \times 3$ block of nine unit squares. Four of these nine squares are not covered by pentagons; the rest of the area belongs to the pentagons.

So the pentagons enclose $1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} = 55.5\overline{5}\%,$ which is closest to $56.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Una caja contiene exactamente cinco fichas, tres rojas y dos blancas. Las fichas se retiran al azar una a la vez sin reemplazo hasta que se extraen todas las fichas rojas o todas las fichas blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que la última ficha extraída sea blanca?

A box contains exactly five chips, three red and two white. Chips are randomly removed one at a time without replacement until all the red chips are drawn or all the white chips are drawn. What is the probability that the last chip drawn is white?

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{7}{10}$

Conceptos:muestreo sin reemplazo probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1530

Solución:

Imagina continuar hasta que se retiren las cinco fichas. El proceso en realidad se detiene en una ficha blanca exactamente cuando las blancas se agotan antes que las rojas, es decir, cuando la última ficha del orden completo es roja.

La última de las cinco fichas tiene la misma probabilidad de ser cualquier ficha, así que es roja con probabilidad $\dfrac{3}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Imagine continuing until all five chips are removed. The process actually stops on a white chip exactly when the whites run out before the reds, i.e. when the last chip in the full ordering is red.

The last of the five chips is equally likely to be any chip, so it is red with probability $\dfrac{3}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

12.

¿Cuántos enteros positivos que no exceden $2001$ son múltiplos de $3$ o $4$ pero no de $5$ ?

How many positive integers not exceeding $2001$ are multiples of $3$ or $4$ but not $5?$

$768$

$801$

$934$

$1067$

$1167$

Conceptos:inclusión-exclusión conteo de enteros en un rango múltiplo

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Los múltiplos de $3$ o $4$ hasta $2001$ suman $667 + 500 - 166 = 1001,$ usando $\lfloor 2001/3 \rfloor = 667,$ $\lfloor 2001/4 \rfloor = 500,$ y $\lfloor 2001/12 \rfloor = 166.$

Entre estos, los divisibles entre $5$ son los múltiplos de $15$ o $20$ : $133 + 100 - 33 = 200,$ usando $\lfloor 2001/15 \rfloor = 133,$ $\lfloor 2001/20 \rfloor = 100,$ y $\lfloor 2001/60 \rfloor = 33.$

El conteo es $1001 - 200 = 801.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiples of $3$ or $4$ up to $2001$ number $667 + 500 - 166 = 1001,$ using $\lfloor 2001/3 \rfloor = 667,$ $\lfloor 2001/4 \rfloor = 500,$ and $\lfloor 2001/12 \rfloor = 166.$

Among these, the ones divisible by $5$ are multiples of $15$ or $20$ : $133 + 100 - 33 = 200,$ using $\lfloor 2001/15 \rfloor = 133,$ $\lfloor 2001/20 \rfloor = 100,$ and $\lfloor 2001/60 \rfloor = 33.$

The count is $1001 - 200 = 801.$

Thus, the correct answer is B.

13.

La parábola con ecuación $y = ax^2 + bx + c$ y vértice $(h, k)$ se refleja respecto a la recta $y = k.$ Esto da como resultado la parábola con ecuación $y = dx^2 + ex + f.$ ¿Cuál de los siguientes es igual a $a + b + c + d + e + f$ ?

The parabola with equation $y = ax^2 + bx + c$ and vertex $(h, k)$ is reflected about the line $y = k.$ This results in the parabola with equation $y = dx^2 + ex + f.$ Which of the following equals $a + b + c + d + e + f?$

$2b$

$2c$

$2a + 2b$

$2h$

$2k$

Conceptos:parábola transformación

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

El valor $a + b + c$ es la primera parábola en $x = 1,$ y $d + e + f$ es la parábola reflejada en $x = 1.$

Reflejar la curva respecto a $y = k$ reemplaza cada altura $y$ por $2k - y.$ Así que en $x = 1$ las dos alturas suman $(a + b + c) + (d + e + f) = 2k.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The value $a + b + c$ is the first parabola at $x = 1,$ and $d + e + f$ is the reflected parabola at $x = 1.$

Reflecting the curve about $y = k$ replaces each height $y$ by $2k - y.$ So at $x = 1$ the two heights sum to $(a + b + c) + (d + e + f) = 2k.$

Thus, the correct answer is E.

14.

Dado el polígono regular de nueve lados $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9,$ ¿cuántos triángulos equiláteros distintos en el plano del polígono tienen al menos dos vértices en el conjunto $\{A_1, A_2, \ldots, A_9\}$ ?

Given the nine-sided regular polygon $A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9,$ how many distinct equilateral triangles in the plane of the polygon have at least two vertices in the set $\{A_1, A_2, \ldots, A_9\}?$

$30$

$36$

$63$

$66$

$72$

Conceptos:conteo de figuras en diagramas polígono regular doble conteo

Nivel de dificultad: 1710

Solución:

Cada uno de los $\binom{9}{2} = 36$ pares de vértices es un lado de exactamente dos triángulos equiláteros, lo que da $72$ triángulos contados con multiplicidad.

Los triángulos $A_1 A_4 A_7,$ $A_2 A_5 A_8,$ y $A_3 A_6 A_9$ tienen sus tres vértices en el conjunto, así que cada uno se cuenta tres veces en lugar de una, un exceso de $2$ cada uno.

El número de triángulos distintos es $72 - 3 \cdot 2 = 66.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each of the $\binom{9}{2} = 36$ pairs of vertices is a side of exactly two equilateral triangles, giving $72$ triangles counted with multiplicity.

The triangles $A_1 A_4 A_7,$ $A_2 A_5 A_8,$ and $A_3 A_6 A_9$ have all three vertices in the set, so each is counted three times instead of once, an overcount of $2$ apiece.

The number of distinct triangles is $72 - 3 \cdot 2 = 66.$

Thus, the correct answer is D.

15.

Un insecto vive en la superficie de un tetraedro regular con aristas de longitud $1.$ Desea viajar sobre la superficie del tetraedro desde el punto medio de una arista hasta el punto medio de la arista opuesta. ¿Cuál es la longitud del trayecto más corto? (Nota: dos aristas de un tetraedro son opuestas si no tienen ningún extremo común.)

An insect lives on the surface of a regular tetrahedron with edges of length $1.$ It wishes to travel on the surface of the tetrahedron from the midpoint of one edge to the midpoint of the opposite edge. What is the length of the shortest such trip? (Note: Two edges of a tetrahedron are opposite if they have no common endpoint.)

$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$1$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$2$

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)Geometría 3D rombo

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Despliega en el plano las dos caras que cruza el insecto. Forman un rombo de lado $1$ compuesto por dos triángulos equiláteros.

Los dos puntos medios de aristas opuestas se convierten en los puntos medios de lados opuestos de este rombo, que están exactamente a $1$ unidad de distancia a lo largo de un segmento recto. Doblar de vuelta preserva la longitud, así que el trayecto más corto es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Unfold the two faces the insect crosses into the plane. They form a rhombus of side $1$ made of two equilateral triangles.

The two opposite-edge midpoints become the midpoints of opposite sides of this rhombus, which are exactly $1$ unit apart along a straight segment. Folding back preserves the length, so the shortest trip is $1.$

Thus, the correct answer is B.

16.

Una araña tiene un calcetín y un zapato para cada una de sus ocho patas. ¿En cuántos órdenes diferentes puede la araña ponerse sus calcetines y zapatos, suponiendo que, en cada pata, el calcetín debe ponerse antes que el zapato?

A spider has one sock and one shoe for each of its eight legs. In how many different orders can the spider put on its socks and shoes, assuming that, on each leg, the sock must be put on before the shoe?

$8!$

$2^8\, 8!$

$(8!)^2$

$\dfrac{16!}{2^8}$

$16!$

Conceptos:arreglos con restricciones permutaciones

Nivel de dificultad: 1600

Solución:

Piensa en los $16$ objetos ( $8$ calcetines y $8$ zapatos) dispuestos en algún orden: hay $16!$ disposiciones.

Para cada pata, el calcetín viene antes que el zapato en exactamente la mitad de todas las disposiciones. Imponer esto en las ocho patas de forma independiente divide entre $2^8,$ dando $\dfrac{16!}{2^8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Think of the $16$ items ( $8$ socks and $8$ shoes) arranged in some order: there are $16!$ arrangements.

For each leg, the sock comes before the shoe in exactly half of all arrangements. Imposing this on all eight legs independently divides by $2^8,$ giving $\dfrac{16!}{2^8}.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Se selecciona al azar un punto $P$ del interior del pentágono con vértices $A = (0, 2),$ $B = (4, 0),$ $C = (2\pi + 1, 0),$ $D = (2\pi + 1, 4),$ y $E = (0, 4).$ ¿Cuál es la probabilidad de que $\angle APB$ sea obtuso?

A point $P$ is selected at random from the interior of the pentagon with vertices $A = (0, 2),$ $B = (4, 0),$ $C = (2\pi + 1, 0),$ $D = (2\pi + 1, 4),$ and $E = (0, 4).$ What is the probability that $\angle APB$ is obtuse?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad geométrica ángulo inscrito área

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

$\angle APB = 90^\circ$ cuando $P$ está sobre el círculo con diámetro $AB,$ centrado en $(2, 1)$ con radio $\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}.$ El ángulo es obtuso cuando $P$ está dentro de este círculo.

El semidisco relevante está completamente dentro del pentágono, con área $\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}.$

El pentágono es el rectángulo con esquinas $(0,0),$ $C,$ $D,$ $E$ menos el triángulo $OAB,$ así que su área es $4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi.$

La probabilidad es $\dfrac{5\pi/2}{8\pi} = \dfrac{5}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

$\angle APB = 90^\circ$ when $P$ is on the circle with diameter $AB,$ centered at $(2, 1)$ with radius $\dfrac{|AB|}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}.$ The angle is obtuse when $P$ is inside this circle.

The relevant half-disk lies wholly within the pentagon, with area $\dfrac{1}{2}\pi(\sqrt{5})^2 = \dfrac{5\pi}{2}.$

The pentagon is the rectangle with corners $(0,0),$ $C,$ $D,$ $E$ minus triangle $OAB,$ so its area is $4(2\pi + 1) - \dfrac{1}{2}(2)(4) = 8\pi.$

The probability is $\dfrac{5\pi/2}{8\pi} = \dfrac{5}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

18.

Un círculo centrado en $A$ con radio $1$ y un círculo centrado en $B$ con radio $4$ son tangentes exteriormente. Un tercer círculo es tangente a los dos primeros y a una de sus tangentes exteriores comunes, como se muestra. El radio del tercer círculo es

A circle centered at $A$ with a radius of $1$ and a circle centered at $B$ with a radius of $4$ are externally tangent. A third circle is tangent to the first two and to one of their common external tangents as shown. The radius of the third circle is

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:circunferencias tangentes Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Cuando dos círculos mutuamente tangentes de radios $r$ y $s$ descansan sobre una recta, la distancia entre sus puntos de tangencia es $2\sqrt{rs}.$

Los puntos de contacto de los círculos grandes están a $2\sqrt{1 \cdot 4} = 4$ de distancia. Colocando el círculo pequeño de radio $x$ entre ellos, sus dos distancias de tangencia se suman: $2\sqrt{1 \cdot x} + 2\sqrt{4 \cdot x} = 4.$

Entonces $6\sqrt{x} = 4,$ así que $\sqrt{x} = \dfrac{2}{3}$ y $x = \dfrac{4}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When two mutually tangent circles of radii $r$ and $s$ both rest on a line, the distance between their points of tangency is $2\sqrt{rs}.$

The big circles' contact points are $2\sqrt{1 \cdot 4} = 4$ apart. Placing the small circle of radius $x$ between them, its two tangent distances add up: $2\sqrt{1 \cdot x} + 2\sqrt{4 \cdot x} = 4.$

Then $6\sqrt{x} = 4,$ so $\sqrt{x} = \dfrac{2}{3}$ and $x = \dfrac{4}{9}.$

Thus, the correct answer is D.

19.

El polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene la propiedad de que la media de sus ceros, el producto de sus ceros y la suma de sus coeficientes son todos iguales. Si la intersección con el eje $y$ de la gráfica de $y = P(x)$ es $2,$ ¿cuánto vale $b$ ?

The polynomial $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ has the property that the mean of its zeros, the product of its zeros, and the sum of its coefficients are all equal. If the $y$ -intercept of the graph of $y = P(x)$ is $2,$ what is $b?$

$-11$

$-10$

$-9$

$1$

$5$

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1760

Solución:

La intersección con el eje $y$ es $P(0) = c = 2.$ Por las fórmulas de Vieta, el producto de los ceros es $-c = -2,$ la media de los ceros es $-\dfrac{a}{3},$ y la suma de los coeficientes es $P(1) = 1 + a + b + c.$

Los tres son iguales a $-2.$ De $-\dfrac{a}{3} = -2$ obtenemos $a = 6.$

Entonces $1 + a + b + c = -2$ se convierte en $1 + 6 + b + 2 = -2,$ así que $b = -11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The $y$ -intercept is $P(0) = c = 2.$ By Vieta's formulas the product of the zeros is $-c = -2,$ the mean of the zeros is $-\dfrac{a}{3},$ and the sum of the coefficients is $P(1) = 1 + a + b + c.$

All three are equal to $-2.$ From $-\dfrac{a}{3} = -2$ we get $a = 6.$

Then $1 + a + b + c = -2$ becomes $1 + 6 + b + 2 = -2,$ so $b = -11.$

Thus, the correct answer is A.

20.

Los puntos $A = (3, 9),$ $B = (1, 1),$ $C = (5, 3),$ y $D = (a, b)$ están en el primer cuadrante y son los vértices del cuadrilátero $ABCD.$ El cuadrilátero formado al unir los puntos medios de $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ y $\overline{DA}$ es un cuadrado. ¿Cuál es la suma de las coordenadas del punto $D$ ?

Points $A = (3, 9),$ $B = (1, 1),$ $C = (5, 3),$ and $D = (a, b)$ lie in the first quadrant and are the vertices of quadrilateral $ABCD.$ The quadrilateral formed by joining the midpoints of $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{DA}$ is a square. What is the sum of the coordinates of point $D?$

$7$

$9$

$10$

$12$

$16$

Conceptos:geometría analítica punto medio vector

Nivel de dificultad: 1880

Solución:

Los puntos medios son $M = (2, 5)$ de $\overline{AB}$ y $N = (3, 2)$ de $\overline{BC}.$

Para que el cuadrilátero de puntos medios sea un cuadrado, los lados consecutivos son perpendiculares e iguales. Con $\overrightarrow{NM} = \langle -1, 3 \rangle,$ el lado $\overrightarrow{MQ}$ hacia el punto medio $Q$ de $\overline{DA}$ debe ser $\langle 3, 1 \rangle,$ así que $Q = (5, 6).$

Como $Q$ es el punto medio de $\overline{DA}$ y $A = (3, 9),$ obtenemos $D = 2Q - A = (7, 3).$ La suma de sus coordenadas es $7 + 3 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The midpoints are $M = (2, 5)$ of $\overline{AB}$ and $N = (3, 2)$ of $\overline{BC}.$

For the midpoint quadrilateral to be a square, consecutive sides are perpendicular and equal. With $\overrightarrow{NM} = \langle -1, 3 \rangle,$ the side $\overrightarrow{MQ}$ to the midpoint $Q$ of $\overline{DA}$ must be $\langle 3, 1 \rangle,$ so $Q = (5, 6).$

Since $Q$ is the midpoint of $\overline{DA}$ and $A = (3, 9),$ we get $D = 2Q - A = (7, 3).$ The sum of its coordinates is $7 + 3 = 10.$

Thus, the correct answer is C.

21.

Cuatro enteros positivos $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ tienen un producto de $8!$ y satisfacen

$ab + a + b = 524,$ $bc + b + c = 146,$ $cd + c + d = 104.$

¿Cuánto vale $a - d$ ?

Four positive integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ have a product of $8!$ and satisfy

$ab + a + b = 524,$ $bc + b + c = 146,$ $cd + c + d = 104.$

What is $a - d?$

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Conceptos:Truco de factorización favorito de Simon divisibilidad sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1960

Solución:

Sumar $1$ a cada ecuación factoriza los lados izquierdos: $\begin{aligned} (a + 1)(b + 1) &= 525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7, \\ (b + 1)(c + 1) &= 147 = 3 \cdot 7^2, \\ (c + 1)(d + 1) &= 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7. \end{aligned}$

Como $525$ tiene un factor de $25$ mientras que $147$ no es divisible entre $5,$ el factor $a + 1$ debe llevar el $25.$ Entre los divisores de $525,$ solo $a + 1 = 25$ hace que $a = 24$ divida a $8! = 40320.$

Entonces $b + 1 = 21,$ $c + 1 = 7,$ y $d + 1 = 15,$ dando $b = 20,$ $c = 6,$ $d = 14.$ (En efecto, $24 \cdot 20 \cdot 6 \cdot 14 = 40320 = 8!.$ )

Así que $a - d = 24 - 14 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding $1$ to each equation factors the left sides: $\begin{aligned} (a + 1)(b + 1) &= 525 = 3 \cdot 5^2 \cdot 7, \\ (b + 1)(c + 1) &= 147 = 3 \cdot 7^2, \\ (c + 1)(d + 1) &= 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7. \end{aligned}$

Since $525$ has a factor of $25$ while $147$ is not divisible by $5,$ the factor $a + 1$ must carry the $25.$ Among divisors of $525,$ only $a + 1 = 25$ makes $a = 24$ divide $8! = 40320.$

Then $b + 1 = 21,$ $c + 1 = 7,$ and $d + 1 = 15,$ giving $b = 20,$ $c = 6,$ $d = 14.$ (Indeed $24 \cdot 20 \cdot 6 \cdot 14 = 40320 = 8!.$ )

So $a - d = 24 - 14 = 10.$

Thus, the correct answer is D.

22.

En el rectángulo $ABCD,$ los puntos $F$ y $G$ están sobre $\overline{AB}$ de modo que $AF = FG = GB$ y $E$ es el punto medio de $\overline{DC}.$ Además, $\overline{AC}$ corta a $\overline{EF}$ en $H$ y a $\overline{EG}$ en $J.$ El área del rectángulo $ABCD$ es $70.$ Halla el área del triángulo $EHJ.$

In rectangle $ABCD,$ points $F$ and $G$ lie on $\overline{AB}$ so that $AF = FG = GB$ and $E$ is the midpoint of $\overline{DC}.$ Also, $\overline{AC}$ intersects $\overline{EF}$ at $H$ and $\overline{EG}$ at $J.$ The area of rectangle $ABCD$ is $70.$ Find the area of triangle $EHJ.$

$\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{35}{12}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$\dfrac{35}{8}$

Conceptos:semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1870

Solución:

El triángulo $EFG$ tiene base $FG = \dfrac{1}{3}AB$ y altura igual a la altura del rectángulo, así que su área es $\dfrac{1}{6}(70) = \dfrac{35}{3}.$

Como $EC \parallel AF,$ los triángulos $AFH$ y $CEH$ son semejantes con razón $\dfrac{EC}{AF} = \dfrac{3}{2},$ así que $\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}.$ De la misma manera $\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}.$

Entonces $\dfrac{[EHJ]}{[EFG]}$ $= \dfrac{EH}{EF}\cdot\dfrac{EJ}{EG}$ $= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7}$ $= \dfrac{9}{35},$ dando $[EHJ] = \dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{35}{3} = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Triangle $EFG$ has base $FG = \dfrac{1}{3}AB$ and height equal to the rectangle's height, so its area is $\dfrac{1}{6}(70) = \dfrac{35}{3}.$

Because $EC \parallel AF,$ triangles $AFH$ and $CEH$ are similar with ratio $\dfrac{EC}{AF} = \dfrac{3}{2},$ so $\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}.$ Likewise $\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}.$

Then $\dfrac{[EHJ]}{[EFG]}$ $= \dfrac{EH}{EF}\cdot\dfrac{EJ}{EG}$ $= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7}$ $= \dfrac{9}{35},$ giving $[EHJ] = \dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{35}{3} = 3.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Un polinomio de grado cuatro con coeficiente principal $1$ y coeficientes enteros tiene dos ceros reales, ambos enteros. ¿Cuál de los siguientes también puede ser un cero del polinomio?

A polynomial of degree four with leading coefficient $1$ and integer coefficients has two real zeros, both of which are integers. Which of the following can also be a zero of the polynomial?

$\dfrac{1 + i\sqrt{11}}{2}$

$\dfrac{1 + i}{2}$

$\dfrac{1}{2} + i$

$1 + \dfrac{i}{2}$

$\dfrac{1 + i\sqrt{13}}{2}$

Conceptos:polinomio número complejo cuadrática

Nivel de dificultad: 2080

Solución:

Escribiendo $P(x)$ $= (x - r)(x - s)(x^2 + \alpha x + \beta)$ con raíces enteras $r, s,$ igualar coeficientes obliga a que $\alpha$ y $\beta$ sean enteros.

Los otros dos ceros son $-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}.$ Una parte real de $\dfrac{1}{2}$ requiere $\alpha = -1,$ lo que hace que la parte imaginaria sea $\dfrac{\sqrt{4\beta - 1}}{2}.$

La opción A necesita $\sqrt{4\beta - 1} = \sqrt{11},$ es decir, $\beta = 3,$ un entero, así que funciona. Las demás opciones obligan a que $\beta$ no sea entero (por ejemplo, la opción E necesita $\beta = 3.5,$ y la opción D necesita $\alpha = -2$ con $\beta = \tfrac{5}{4}$ ).

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Writing $P(x)$ $= (x - r)(x - s)(x^2 + \alpha x + \beta)$ with integer roots $r, s,$ matching coefficients forces $\alpha$ and $\beta$ to be integers.

The other two zeros are $-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}.$ A real part of $\dfrac{1}{2}$ requires $\alpha = -1,$ making the imaginary part $\dfrac{\sqrt{4\beta - 1}}{2}.$

Choice A needs $\sqrt{4\beta - 1} = \sqrt{11},$ i.e. $\beta = 3,$ an integer, so it works. The other choices force a non-integer $\beta$ (for example choice E needs $\beta = 3.5,$ and choice D needs $\alpha = -2$ with $\beta = \tfrac{5}{4}$ ).

Thus, the correct answer is A.

24.

En el triángulo $ABC,$ $\angle ABC = 45^\circ.$ El punto $D$ está sobre $\overline{BC}$ de modo que $2 \cdot BD = CD$ y $\angle DAB = 15^\circ.$ Halla $\angle ACB.$

In triangle $ABC,$ $\angle ABC = 45^\circ.$ Point $D$ is on $\overline{BC}$ so that $2 \cdot BD = CD$ and $\angle DAB = 15^\circ.$ Find $\angle ACB.$

$54^\circ$

$60^\circ$

$72^\circ$

$75^\circ$

$90^\circ$

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Sea $E$ el pie de la perpendicular desde $C$ a la recta $AD.$ El ángulo exterior de $\triangle ADB$ da $\angle ADC = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ,$ así que $\triangle CDE$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90$ con $DE = \tfrac{1}{2}CD = BD.$

Entonces $\triangle BDE$ es isósceles con $\angle EBD = \angle BED = 30^\circ,$ y como $\angle ECB = 30^\circ$ también, $\triangle BEC$ es isósceles con $BE = EC.$

Además $\angle ABE$ $= 45^\circ - 30^\circ$ $= 15^\circ$ $= \angle EAB,$ así que $\triangle ABE$ es isósceles con $AE = BE.$ Por lo tanto $AE = BE = EC,$ haciendo que el triángulo rectángulo $AEC$ sea isósceles con $\angle ECA = 45^\circ.$

Por lo tanto $\angle ACB$ $= \angle ECA + \angle ECD$ $= 45^\circ + 30^\circ$ $= 75^\circ.$

Así, la respuesta correcta es D.

Let $E$ be the foot of the perpendicular from $C$ to line $AD.$ The exterior angle of $\triangle ADB$ gives $\angle ADC = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ,$ so $\triangle CDE$ is a $30$ - $60$ - $90$ triangle with $DE = \tfrac{1}{2}CD = BD.$

Then $\triangle BDE$ is isosceles with $\angle EBD = \angle BED = 30^\circ,$ and since $\angle ECB = 30^\circ$ too, $\triangle BEC$ is isosceles with $BE = EC.$

Also $\angle ABE$ $= 45^\circ - 30^\circ$ $= 15^\circ$ $= \angle EAB,$ so $\triangle ABE$ is isosceles with $AE = BE.$ Hence $AE = BE = EC,$ making right triangle $AEC$ isosceles with $\angle ECA = 45^\circ.$

Therefore $\angle ACB$ $= \angle ECA + \angle ECD$ $= 45^\circ + 30^\circ$ $= 75^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Considera sucesiones de números reales positivos de la forma $x, 2000, y, \ldots,$ en las que cada término después del primero es $1$ menos que el producto de sus dos vecinos inmediatos. ¿Para cuántos valores diferentes de $x$ aparece el término $2001$ en algún lugar de la sucesión?

Consider sequences of positive real numbers of the form $x, 2000, y, \ldots,$ in which every term after the first is $1$ less than the product of its two immediate neighbors. For how many different values of $x$ does the term $2001$ appear somewhere in the sequence?

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Conceptos:recursión análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Si $a, b, c$ son términos consecutivos, entonces $b = ac - 1,$ así que $c = \dfrac{1 + b}{a}.$ Aplicando esto repetidamente, los primeros cinco términos son $a,\ b,\ \dfrac{1 + b}{a},\ \dfrac{1 + a + b}{ab},\ \dfrac{1 + a}{b},$ después de lo cual $a$ y $b$ reaparecen, así que la sucesión es periódica con periodo $5.$

Aquí $b = 2000$ es el segundo término. El valor $2001$ se puede colocar en cualquiera de las otras cuatro de las cinco posiciones distintas, y cada elección determina $x = a$ de forma única y produce una sucesión válida de reales positivos.

Así que hay $4$ valores de $x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $a, b, c$ are consecutive terms then $b = ac - 1,$ so $c = \dfrac{1 + b}{a}.$ Applying this repeatedly, the first five terms are $a,\ b,\ \dfrac{1 + b}{a},\ \dfrac{1 + a + b}{ab},\ \dfrac{1 + a}{b},$ after which $a$ and $b$ recur, so the sequence is periodic with period $5.$

Here $b = 2000$ is the second term. The value $2001$ can be placed in any one of the other four of the five distinct positions, and each choice determines $x = a$ uniquely and yields a valid sequence of positive reals.

So there are $4$ values of $x.$

Thus, the correct answer is D.