Question

¿Para cuántos valores enteros de $n$ (no necesariamente positivos) el valor de $4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n$ es un entero?

For how many (not necessarily positive) integer values of $n$ is the value of $4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n$ an integer?

$3$

$4$

$6$

$8$

$9$

Solución:

Como $4000 = 2^5 \cdot 5^3,$ la expresión es igual a $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}.$ Esto es un entero exactamente cuando $5 + n \ge 0$ y $3 - n \ge 0,$ es decir, $-5 \le n \le 3.$ Hay $3 - (-5) + 1 = 9$ enteros de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $4000 = 2^5 \cdot 5^3,$ the expression equals $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}.$ This is an integer exactly when both $5 + n \ge 0$ and $3 - n \ge 0,$ that is, $-5 \le n \le 3.$ There are $3 - (-5) + 1 = 9$ such integers.

Thus, the correct answer is E.

2018 AMC 12A Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años