2018 AMC 12A — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Una urna grande contiene $100$ bolas, de las cuales $36\%$ son rojas y el resto son azules. ¿Cuántas bolas azules deben retirarse para que el porcentaje de bolas rojas en la urna sea $72\%$ ? (No se retira ninguna bola roja.)

A large urn contains $100$ balls, of which $36\%$ are red and the rest are blue. How many of the blue balls must be removed so that the percentage of red balls in the urn will be $72\%?$ (No red balls are to be removed.)

$28$

$32$

$36$

$50$

$64$

Respuesta: D

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

El número de bolas rojas nunca cambia; solo salen bolas azules

The number of red balls never changes; only blue balls leave

Pista grande:

Si $36$ bolas rojas deben ser el $72\%$ de la urna, la urna debe contener $36 \div 0.72$ bolas

If $36$ red balls are to be $72\%$ of the urn, the urn must hold $36 \div 0.72$ balls

Solución:

Hay $36$ bolas rojas, y esta cantidad permanece fija. Para que las bolas rojas sean el $72\%$ de la urna, la urna debe contener $36 \div 0.72 = 50$ bolas. Como $100 - 50 = 50$ , se retiran exactamente $50$ bolas azules.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are $36$ red balls, and this count stays fixed. For the red balls to be $72\%$ of the urn, the urn must contain $36 \div 0.72 = 50$ balls. Since $100 - 50 = 50$ , exactly $50$ blue balls are removed.

Thus, the correct answer is D.

2.

Mientras explora una cueva, Carl encuentra una colección de rocas de $5$ libras que valen $ $14$ cada una, rocas de $4$ libras que valen $ $11$ cada una, y rocas de $1$ libra que valen $ $2$ cada una. Hay al menos $20$ de cada tamaño. Puede cargar a lo sumo $18$ libras. ¿Cuál es el valor máximo, en dólares, de las rocas que puede sacar de la cueva?

While exploring a cave, Carl comes across a collection of $5$ -pound rocks worth $ $14$ each, $4$ -pound rocks worth $ $11$ each, and $1$ -pound rocks worth $ $2$ each. There are at least $20$ of each size. He can carry at most $18$ pounds. What is the maximum value, in dollars, of the rocks he can carry out of the cave?

$48$

$49$

$50$

$51$

$52$

Respuesta: C

Conceptos:optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Compara el valor por libra: $\$2.80,$ $\$2.75,$ y $\$2$ para los tres tamaños de roca

Compare the value per pound: $\$2.80,$ $\$2.75,$ and $\$2$ for the three rock sizes

Pista grande:

Llenar las $18$ libras completas importa más que tomar siempre la roca de mejor valor por libra; prueba dos rocas de $5$ libras y dos de $4$ libras

Filling the full $18$ pounds matters more than always grabbing the best per-pound rock; try two $5$ -pound and two $4$ -pound rocks

Solución:

Las rocas valen $ $2.80,$ $ $2.75,$ y $ $2$ por libra, respectivamente. Para cada cantidad posible de rocas de $5$ libras, usamos tantas rocas de $4$ libras como quepan y llenamos la capacidad restante con rocas de $1$ libra. Tomar $0,1,2,$ o $3$ rocas de $5$ libras da valores máximos de $ $48,$ $ $49,$ $ $50,$ y $ $48,$ respectivamente.

Así, dos rocas de $5$ libras y dos de $4$ libras usan las $18$ libras completas, y el valor máximo es $ $50.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The rocks are worth $ $2.80,$ $ $2.75,$ and $ $2$ per pound, respectively. For each possible number of $5$ -pound rocks, use as many $4$ -pound rocks as fit and fill any leftover capacity with $1$ -pound rocks. Taking $0,1,2,$ or $3$ of the $5$ -pound rocks gives maximum values $ $48,$ $ $49,$ $ $50,$ and $ $48,$ respectively.

Thus two $5$ -pound and two $4$ -pound rocks use all $18$ pounds, and the maximum value is $ $50.$ Thus, the correct answer is C.

3.

¿De cuántas maneras puede un estudiante programar $3$ cursos de matemáticas, álgebra, geometría y teoría de números, en un día de $6$ períodos si no se pueden tomar dos cursos de matemáticas en períodos consecutivos? (Los cursos que el estudiante toma durante los otros $3$ períodos no importan aquí.)

How many ways can a student schedule $3$ mathematics courses—algebra, geometry, and number theory—in a $6$ -period day if no two mathematics courses can be taken in consecutive periods? (What courses the student takes during the other $3$ periods is of no concern here.)

$3$

$6$

$12$

$18$

$24$

Respuesta: E

Conceptos:arreglos con restricciones permutaciones

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Primero cuenta los conjuntos de $3$ períodos de entre $6$ sin dos períodos elegidos adyacentes

First count the sets of $3$ periods out of $6$ with no two chosen periods adjacent

Pista grande:

Hay $4$ conjuntos de este tipo, y los tres cursos distintos se pueden asignar de $3!$ maneras

There are $4$ such sets, and the three distinct courses can be assigned in $3!$ ways

Solución:

Las opciones de tres períodos no consecutivos son $\{1,3,5\},$ $\{1,3,6\},$ $\{1,4,6\},$ y $\{2,4,6\},$ en total $4.$ Los tres cursos distintos se pueden colocar en cualquiera de estos conjuntos en $3! = 6$ órdenes, lo que da $4 \cdot 6 = 24$ horarios.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The choices of three non-consecutive periods are $\{1,3,5\},$ $\{1,3,6\},$ $\{1,4,6\},$ and $\{2,4,6\},$ a total of $4.$ The three distinct courses can be placed into any such set in $3! = 6$ orders, giving $4 \cdot 6 = 24$ schedules.

Thus, the correct answer is E.

4.

Alice, Bob y Charlie estaban de excursión y se preguntaban a qué distancia estaba el pueblo más cercano. Cuando Alice dijo: “Estamos al menos a $6$ millas”, Bob respondió: “Estamos a lo sumo a $5$ millas”. Charlie luego comentó: “En realidad el pueblo más cercano está a lo sumo a $4$ millas”. Resultó que ninguna de las tres afirmaciones era verdadera. Sea $d$ la distancia en millas al pueblo más cercano. ¿Cuál de los siguientes intervalos es el conjunto de todos los valores posibles de $d$ ?

Alice, Bob, and Charlie were on a hike and were wondering how far away the nearest town was. When Alice said, “We are at least $6$ miles away,” Bob replied, “We are at most $5$ miles away.” Charlie then remarked, “Actually the nearest town is at most $4$ miles away.” It turned out that none of the three statements was true. Let $d$ be the distance in miles to the nearest town. Which of the following intervals is the set of all possible values of $d?$

$(0, 4)$

$(4, 5)$

$(4, 6)$

$(5, 6)$

$(5, \infty)$

Respuesta: D

Conceptos:deducción lógica desigualdad

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Cada afirmación es falsa, así que reemplaza cada una por su negación

Each statement is false, so replace each with its negation

Pista grande:

“Al menos $6$ ” falso significa $d \lt 6;$ “a lo sumo $5$ ” falso significa $d \gt 5;$ “a lo sumo $4$ ” falso significa $d \gt 4$

“At least $6$ ” false means $d \lt 6;$ “at most $5$ ” false means $d \gt 5;$ “at most $4$ ” false means $d \gt 4$

Solución:

Negar las tres afirmaciones falsas da $d \lt 6,$ $d \gt 5,$ y $d \gt 4.$ La intersección de estas condiciones es $5 \lt d \lt 6,$ es decir, el intervalo $(5, 6).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Negating the three false statements gives $d \lt 6,$ $d \gt 5,$ and $d \gt 4.$ The intersection of these conditions is $5 \lt d \lt 6,$ that is, the interval $(5, 6).$

Thus, the correct answer is D.

5.

¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $k$ para los que los polinomios $x^2 - 3x + 2$ y $x^2 - 5x + k$ tienen una raíz en común?

What is the sum of all possible values of $k$ for which the polynomials $x^2 - 3x + 2$ and $x^2 - 5x + k$ have a root in common?

$3$

$4$

$5$

$6$

$10$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática factorización

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Factoriza $x^2 - 3x + 2$ para hallar sus dos raíces

Factor $x^2 - 3x + 2$ to find its two roots

Pista grande:

Una raíz común debe ser $1$ o $2;$ sustituye cada una en $x^2 - 5x + k$ y despeja $k$

A common root must be $1$ or $2;$ substitute each into $x^2 - 5x + k$ and solve for $k$

Solución:

Como $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2),$ sus raíces son $1$ y $2.$ Si $1$ es una raíz compartida entonces $1 - 5 + k = 0,$ así que $k = 4.$ Si $2$ es una raíz compartida entonces $4 - 10 + k = 0,$ así que $k = 6.$ La suma de los valores posibles es $4 + 6 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2),$ its roots are $1$ and $2.$ If $1$ is a shared root then $1 - 5 + k = 0,$ so $k = 4.$ If $2$ is a shared root then $4 - 10 + k = 0,$ so $k = 6.$ The sum of possible values is $4 + 6 = 10.$

Thus, the correct answer is E.

6.

Para enteros positivos $m$ y $n$ tales que $m + 10 \lt n + 1,$ tanto la media como la mediana del conjunto $\{m, m + 4, m + 10,$ $n + 1,$ $n + 2,$ $2n\}$ son iguales a $n.$ ¿Cuánto vale $m + n$ ?

For positive integers $m$ and $n$ such that $m + 10 \lt n + 1,$ both the mean and the median of the set $\{m, m + 4, m + 10,$ $n + 1,$ $n + 2,$ $2n\}$ are equal to $n.$ What is $m + n?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Respuesta: B

Conceptos:media mediana (datos)sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

La condición $m + 10 \lt n + 1$ obliga a que los seis valores estén listados en orden creciente

The condition $m + 10 \lt n + 1$ forces the six values to be listed in increasing order

Pista grande:

Iguala la mediana $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n$ y haz la media igual a $n,$ luego resuelve las dos ecuaciones

Set the median $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n$ and set the mean equal to $n,$ then solve the two equations

Solución:

Como $m + 10 \lt n + 1,$ los seis números ya están en orden creciente, así que la mediana es el promedio de los dos del medio: $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n,$ lo que da $m = n - 11.$ La condición de la media es $\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n,$ así que $7n - 16 = 6n$ y $n = 16.$ Entonces $m = 5,$ y $m + n = 21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $m + 10 \lt n + 1,$ the six numbers are already increasing, so the median is the average of the middle two: $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n,$ giving $m = n - 11.$ The mean condition is $\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n,$ so $7n - 16 = 6n$ and $n = 16.$ Then $m = 5,$ and $m + n = 21.$

Thus, the correct answer is B.

7.

¿Para cuántos valores enteros de $n$ (no necesariamente positivos) el valor de $4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n$ es un entero?

For how many (not necessarily positive) integer values of $n$ is the value of $4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n$ an integer?

$3$

$4$

$6$

$8$

$9$

Respuesta: E

Conceptos:factorización en primos exponente

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Escribe $4000 = 2^5 \cdot 5^3,$ así que la expresión es $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}$

Write $4000 = 2^5 \cdot 5^3,$ so the expression is $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}$

Pista grande:

Esto es un entero exactamente cuando ambos exponentes $5 + n$ y $3 - n$ son no negativos

This is an integer exactly when both exponents $5 + n$ and $3 - n$ are nonnegative

Solución:

Como $4000 = 2^5 \cdot 5^3,$ la expresión es igual a $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}.$ Esto es un entero exactamente cuando $5 + n \ge 0$ y $3 - n \ge 0,$ es decir, $-5 \le n \le 3.$ Hay $3 - (-5) + 1 = 9$ enteros de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $4000 = 2^5 \cdot 5^3,$ the expression equals $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}.$ This is an integer exactly when both $5 + n \ge 0$ and $3 - n \ge 0,$ that is, $-5 \le n \le 3.$ There are $3 - (-5) + 1 = 9$ such integers.

Thus, the correct answer is E.

8.

Todos los triángulos del diagrama de abajo son semejantes al triángulo isósceles $ABC,$ en el que $AB = AC.$ Cada uno de los $7$ triángulos más pequeños tiene área $1,$ y $\triangle ABC$ tiene área $40.$ ¿Cuál es el área del trapecio $DBCE$ ?

All of the triangles in the diagram below are similar to isosceles triangle $ABC,$ in which $AB = AC.$ Each of the $7$ smallest triangles has area $1,$ and $\triangle ABC$ has area $40.$ What is the area of trapezoid $DBCE?$

$16$

$18$

$20$

$22$

$24$

Respuesta: E

Conceptos:semejanza escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

La base $DE$ del triángulo $ADE$ abarca $4$ bases de triángulos pequeños

The base $DE$ of triangle $ADE$ spans $4$ small-triangle bases

Pista grande:

El área escala como el cuadrado de la longitud, así que $[ADE] = 4^2 \cdot 1;$ resta esto de $[ABC] = 40$

Area scales as the square of length, so $[ADE] = 4^2 \cdot 1;$ subtract this from $[ABC] = 40$

Solución:

La base $DE$ del $\triangle ADE$ es $4$ veces la base de un triángulo más pequeño, así que por el escalado cuadrático de áreas semejantes, $[ADE] = 4^2 \cdot 1 = 16.$ El trapecio $DBCE$ es lo que queda del $\triangle ABC,$ así que su área es $40 - 16 = 24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The base $DE$ of $\triangle ADE$ is $4$ times the base of a smallest triangle, so by the square scaling of similar areas, $[ADE] = 4^2 \cdot 1 = 16.$ The trapezoid $DBCE$ is what remains of $\triangle ABC,$ so its area is $40 - 16 = 24.$

Thus, the correct answer is E.

9.

¿Cuál de las siguientes describe el mayor subconjunto de valores de $y$ dentro del intervalo cerrado $[0, \pi]$ para el cual $\sin(x + y) \le \sin(x) + \sin(y)$ para todo $x$ entre $0$ y $\pi,$ inclusive?

Which of the following describes the largest subset of values of $y$ within the closed interval $[0, \pi]$ for which $\sin(x + y) \le \sin(x) + \sin(y)$ for every $x$ between $0$ and $\pi,$ inclusive?

$y = 0$

$0 \le y \le \tfrac{\pi}{4}$

$0 \le y \le \tfrac{\pi}{2}$

$0 \le y \le \tfrac{3\pi}{4}$

$0 \le y \le \pi$

Respuesta: E

Conceptos:identidad trigonométrica desigualdad

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Desarrolla $\sin(x+y)$ $= \sin x \cos y + \cos x \sin y$

Expand $\sin(x+y)$ $= \sin x \cos y + \cos x \sin y$

Pista grande:

Para $x, y \in [0, \pi]$ tanto $\sin x, \sin y \ge 0$ como $\cos x, \cos y \le 1;$ compara término a término

For $x, y \in [0, \pi]$ both $\sin x, \sin y \ge 0$ and $\cos x, \cos y \le 1;$ compare term by term

Solución:

Para $0 \le x \le \pi$ y $0 \le y \le \pi$ tenemos $\sin x \ge 0,$ $\sin y \ge 0,$ $\cos x \le 1,$ y $\cos y \le 1.$ Por lo tanto $\begin{aligned} \sin(x+y) &= \sin x \cos y \\ &\quad {}+ \cos x \sin y \\ &\le \sin x + \sin y. \end{aligned}$ La desigualdad se cumple entonces para todo $y$ con $0 \le y \le \pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $0 \le x \le \pi$ and $0 \le y \le \pi$ we have $\sin x \ge 0,$ $\sin y \ge 0,$ $\cos x \le 1,$ and $\cos y \le 1.$ Hence $\begin{aligned} \sin(x+y) &= \sin x \cos y \\ &\quad {}+ \cos x \sin y \\ &\le \sin x + \sin y. \end{aligned}$ The inequality therefore holds for every $y$ with $0 \le y \le \pi.$

Thus, the correct answer is E.

10.

¿Cuántos pares ordenados de números reales $(x, y)$ satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones?

$x + 3y = 3$ $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$

How many ordered pairs of real numbers $(x, y)$ satisfy the following system of equations?

$x + 3y = 3$ $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

Respuesta: C

Conceptos:valor absoluto sistema de ecuaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

La ecuación $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$ significa $|x| - |y| = \pm 1,$ lo que se desglosa en $x = \pm y \pm 1$

The equation $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$ means $|x| - |y| = \pm 1,$ which unfolds into $x = \pm y \pm 1$

Pista grande:

Resuelve $x + 3y = 3$ junto con cada una de $x = y + 1,$ $x = y - 1,$ $x = -y + 1,$ $x = -y - 1,$ luego descarta las repetidas

Solve $x + 3y = 3$ together with each of $x = y + 1,$ $x = y - 1,$ $x = -y + 1,$ $x = -y - 1,$ then discard repeats

Solución:

La segunda ecuación da $|x| - |y| = \pm 1,$ equivalentemente $x = \pm y \pm 1.$ Sustituyendo en $x + 3y = 3:$

Si $x = y + 1,$ entonces $(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right).$ Si $x = y - 1,$ entonces $(x, y) = (0, 1).$ Si $x = -y + 1,$ entonces de nuevo $(x, y) = (0, 1).$ Si $x = -y - 1,$ entonces $(x, y) = (-3, 2).$

Las soluciones distintas son $(-3, 2),$ $(0, 1),$ y $\left(\tfrac32, \tfrac12\right),$ todas las cuales se verifican, así que hay $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The second equation gives $|x| - |y| = \pm 1,$ equivalently $x = \pm y \pm 1.$ Substituting into $x + 3y = 3:$

If $x = y + 1,$ then $(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right).$ If $x = y - 1,$ then $(x, y) = (0, 1).$ If $x = -y + 1,$ then again $(x, y) = (0, 1).$ If $x = -y - 1,$ then $(x, y) = (-3, 2).$

The distinct solutions are $(-3, 2),$ $(0, 1),$ and $\left(\tfrac32, \tfrac12\right),$ all of which check, so there are $3.$

Thus, the correct answer is C.

11.

Un triángulo de papel con lados de longitudes $3,$ $4,$ y $5$ pulgadas, como se muestra, se dobla de modo que el punto $A$ cae sobre el punto $B.$ ¿Cuál es la longitud en pulgadas del pliegue?

A paper triangle with sides of lengths $3,$ $4,$ and $5$ inches, as shown, is folded so that point $A$ falls on point $B.$ What is the length in inches of the crease?

$1 + \tfrac12 \sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$\tfrac{7}{4}$

$\tfrac{15}{8}$

$2$

Respuesta: D

Conceptos:plegado de papel mediatriz semejanza

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Doblar $A$ sobre $B$ crea el pliegue a lo largo de la mediatriz de $AB;$ como $AC \gt BC$ esta corta a $AC$

Folding $A$ onto $B$ creases along the perpendicular bisector of $AB;$ since $AC \gt BC$ it meets $AC$

Pista grande:

Con $D$ el punto medio de $AB$ y $E$ en $AC,$ el triángulo $ADE \sim$ triángulo $ACB,$ así que $DE = AD \cdot \tfrac{CB}{AC}$

With $D$ the midpoint of $AB$ and $E$ on $AC,$ triangle $ADE \sim$ triangle $ACB,$ so $DE = AD \cdot \tfrac{CB}{AC}$

Solución:

El pliegue está sobre la mediatriz de $AB,$ que corta a $AC$ en $E$ porque $AC \gt BC.$ Sea $D$ el punto medio de $AB,$ así que $AD = \tfrac52$ y $\triangle ADE$ es rectángulo en $D.$ Como $\triangle ADE \sim \triangle ACB,$ tenemos $\tfrac{DE}{AD} = \tfrac{CB}{AC} = \tfrac34,$ así que $DE = \frac52 \cdot \frac34 = \frac{15}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The crease lies along the perpendicular bisector of $AB,$ meeting $AC$ at $E$ because $AC \gt BC.$ Let $D$ be the midpoint of $AB,$ so $AD = \tfrac52$ and $\triangle ADE$ is right-angled at $D.$ Since $\triangle ADE \sim \triangle ACB,$ we have $\tfrac{DE}{AD} = \tfrac{CB}{AC} = \tfrac34,$ so $DE = \frac52 \cdot \frac34 = \frac{15}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Sea $S$ un conjunto de $6$ enteros tomados de $\{1, 2, \ldots, 12\}$ con la propiedad de que si $a$ y $b$ son elementos de $S$ con $a \lt b,$ entonces $b$ no es múltiplo de $a.$ ¿Cuál es el menor valor posible de un elemento de $S$ ?

Let $S$ be a set of $6$ integers taken from $\{1, 2, \ldots, 12\}$ with the property that if $a$ and $b$ are elements of $S$ with $a \lt b,$ then $b$ is not a multiple of $a.$ What is the least possible value of an element of $S?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$7$

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad principio del palomar argumento extremal

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Agrupa $\{1, \ldots, 12\}$ en cadenas donde cada número divide al siguiente: $\{1,2,4,8\},$ $\{3,6,12\},$ $\{5,10\},$ $\{7\},$ $\{9\},$ $\{11\}$

Group $\{1, \ldots, 12\}$ into chains where each number divides the next: $\{1,2,4,8\},$ $\{3,6,12\},$ $\{5,10\},$ $\{7\},$ $\{9\},$ $\{11\}$

Pista grande:

A lo sumo un elemento proviene de cada cadena; con $6$ cadenas, $S$ debe usar exactamente uno de cada una, lo que obliga a $7, 9, 11 \in S$

At most one element comes from each chain; with $6$ chains, $S$ must use exactly one from each, forcing $7, 9, 11 \in S$

Solución:

Divide $\{1, \ldots, 12\}$ en las seis cadenas de divisibilidad $\{1,2,4,8\},$ $\{3,6,12\},$ $\{5,10\},$ $\{7\},$ $\{9\},$ $\{11\}.$ Como ningún elemento de $S$ puede dividir a otro, a lo sumo uno proviene de cada cadena; necesitar $6$ elementos obliga a exactamente uno de cada una, así que $7, 9, 11 \in S.$

Como $9 \in S,$ $3 \notin S,$ así que la segunda cadena aporta $6$ o $12,$ y entonces ni $1$ ni $2$ pueden elegirse de la primera cadena (dividen a $6$ y $12$ ). Tomar $4$ de la primera cadena funciona: $S = \{4, 5, 6, 7, 9, 11\}$ tiene la propiedad. Por lo tanto el menor elemento posible es $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Partition $\{1, \ldots, 12\}$ into the six divisibility chains $\{1,2,4,8\},$ $\{3,6,12\},$ $\{5,10\},$ $\{7\},$ $\{9\},$ $\{11\}.$ Since no element of $S$ may divide another, at most one comes from each chain; needing $6$ elements forces exactly one from each, so $7, 9, 11 \in S.$

Because $9 \in S,$ $3 \notin S,$ so the second chain contributes $6$ or $12,$ and then neither $1$ nor $2$ can be chosen from the first chain (they divide $6$ and $12$ ). Taking $4$ from the first chain works: $S = \{4, 5, 6, 7, 9, 11\}$ has the property. Hence the least possible element is $4.$

Thus, the correct answer is C.

13.

¿Cuántos enteros no negativos se pueden escribir en la forma

$\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0, \end{aligned}$

donde $a_i \in \{-1, 0, 1\}$ para $0 \le i \le 7$ ?

How many nonnegative integers can be written in the form

$\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0, \end{aligned}$

where $a_i \in \{-1, 0, 1\}$ for $0 \le i \le 7?$

$512$

$729$

$1094$

$3281$

$59{,}048$

Respuesta: D

Conceptos:base numérica biyección simetría

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Desplazar cada $a_i$ de $\{-1, 0, 1\}$ a $\{0, 1, 2\}$ produce un numeral ordinario en base $3$

Shifting each $a_i$ from $\{-1, 0, 1\}$ to $\{0, 1, 2\}$ makes an ordinary base- $3$ numeral

Pista grande:

Los $3^8$ enteros representables son simétricos respecto de $0;$ cuenta $0$ junto con la mitad de los valores restantes

The $3^8$ representable integers are symmetric about $0;$ count $0$ together with half of the remaining values

Solución:

Sumar $1$ a cada $a_i$ da una biyección entre estas expresiones y los numerales en base $3$ para $0$ hasta $3^8 - 1,$ así que ocurren exactamente $3^8 = 6561$ enteros distintos. Son simétricos respecto de $0$ (negar todos los $a_i$ niega el valor), así que además del propio $0$ , la mitad son positivos: $1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281$ enteros no negativos, a saber $0$ hasta $3280.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding $1$ to every $a_i$ gives a bijection between these expressions and the base- $3$ numerals for $0$ through $3^8 - 1,$ so exactly $3^8 = 6561$ distinct integers occur. They are symmetric about $0$ (negating all $a_i$ negates the value), so besides $0$ itself, half are positive: $1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281$ nonnegative integers, namely $0$ through $3280.$

Thus, the correct answer is D.

14.

La solución de la ecuación $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8,$ donde $x$ es un número real positivo distinto de $\tfrac13$ o $\tfrac12,$ se puede escribir como $\tfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $p + q$ ?

The solution to the equation $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8,$ where $x$ is a positive real number other than $\tfrac13$ or $\tfrac12,$ can be written as $\tfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p + q?$

$5$

$13$

$17$

$31$

$35$

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Reescribe ambos lados con una base común: $\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x},$ y análogamente para $\log_{2x} 8$

Rewrite both sides with a common base: $\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x},$ and similarly for $\log_{2x} 8$

Pista grande:

Multiplicar en cruz reduce la ecuación a $(2x)^2 = (3x)^3;$ despeja $x$ como una fracción irreducible

Cross-multiplying reduces the equation to $(2x)^2 = (3x)^3;$ solve for $x$ as a reduced fraction

Solución:

Escribiendo ambos logaritmos en base $2:$ $\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x},$ así que $2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x,$ es decir $(2x)^2 = (3x)^3.$ Entonces $4x^2 = 27x^3,$ lo que da $x = \tfrac{4}{27}.$ Como $\gcd(4, 27) = 1,$ obtenemos $p + q = 4 + 27 = 31.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing both logarithms in base $2:$ $\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x},$ so $2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x,$ i.e. $(2x)^2 = (3x)^3.$ Then $4x^2 = 27x^3,$ giving $x = \tfrac{4}{27}.$ Since $\gcd(4, 27) = 1,$ we get $p + q = 4 + 27 = 31.$

Thus, the correct answer is D.

15.

Un código de escaneo consiste en una cuadrícula de $7 \times 7$ cuadrados, con algunos de sus cuadrados coloreados de negro y el resto de blanco. Debe haber al menos un cuadrado de cada color en esta cuadrícula de $49$ cuadrados. Un código de escaneo se llama simétrico si su apariencia no cambia cuando todo el cuadrado se rota un múltiplo de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de su centro, ni cuando se refleja a través de una línea que une esquinas opuestas o una línea que une los puntos medios de lados opuestos. ¿Cuál es el número total de posibles códigos de escaneo simétricos?

A scanning code consists of a $7 \times 7$ grid of squares, with some of its squares colored black and the rest colored white. There must be at least one square of each color in this grid of $49$ squares. A scanning code is called symmetric if its look does not change when the entire square is rotated by a multiple of $90^\circ$ counterclockwise around its center, nor when it is reflected across a line joining opposite corners or a line joining midpoints of opposite sides. What is the total number of possible symmetric scanning codes?

$510$

$1022$

$8190$

$8192$

$65{,}534$

Respuesta: B

Conceptos:simetría conteo básico

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Las simetrías requeridas obligan a que cada cuadrado de una órbita de rotación-reflexión comparta un color

The required symmetries force every square in one rotation-reflection orbit to share a color

Pista grande:

Hay $10$ órbitas independientes, cada una libremente negra o blanca; excluye los códigos todo negro y todo blanco

There are $10$ independent orbits, each freely black or white; exclude the all-black and all-white codes

Solución:

Bajo el grupo de simetría del cuadrado, las $49$ celdas se dividen en órbitas, y todas las celdas de una órbita deben tener el mismo color. Demos a una celda coordenadas $(i,j)$ respecto del centro, donde $-3\le i,j\le3.$ Las rotaciones y reflexiones pueden cambiar signos e intercambiar las coordenadas, así que cada órbita tiene un representante con $0\le i\le j\le3.$ Hay $1+2+3+4=10$ pares de este tipo. Cada órbita puede ser negra o blanca, lo que da $2^{10}$ coloraciones, pero se excluyen las cuadrículas totalmente negra y totalmente blanca. Por tanto, hay $2^{10} - 2 = 1022$ códigos de escaneo simétricos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Under the symmetry group of the square, the $49$ cells break into orbits, and every cell in an orbit must have the same color. Give a cell coordinates $(i,j)$ relative to the center, where $-3\le i,j\le3.$ Rotations and reflections can change signs and interchange the coordinates, so each orbit has one representative with $0\le i\le j\le3.$ There are $1+2+3+4=10$ such pairs. Each orbit is black or white, giving $2^{10}$ colorings, but the all-black and all-white grids are excluded. So there are $2^{10} - 2 = 1022$ symmetric scanning codes.

Thus, the correct answer is B.

16.

¿Cuál de las siguientes describe el conjunto de valores de $a$ para los que las curvas $x^2 + y^2 = a^2$ y $y = x^2 - a$ en el plano real $xy$ se cortan en exactamente $3$ puntos?

Which of the following describes the set of values of $a$ for which the curves $x^2 + y^2 = a^2$ and $y = x^2 - a$ in the real $xy$ -plane intersect at exactly $3$ points?

$a = \tfrac14$

$\tfrac14 \lt a \lt \tfrac12$

$a \gt \tfrac14$

$a = \tfrac12$

$a \gt \tfrac12$

Respuesta: E

Conceptos:círculo parábola cuadrática

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

A partir de $y = x^2 - a$ sustituye $x^2 = y + a$ en la ecuación de la circunferencia para obtener una cuadrática en $y$

From $y = x^2 - a$ substitute $x^2 = y + a$ into the circle equation to get a quadratic in $y$

Pista grande:

Una intersección es la tangencia en el vértice en $x = 0;$ dos más requieren que $x^2 = 2a - 1$ tenga soluciones reales no nulas

One intersection is the vertex tangency at $x = 0;$ two more require $x^2 = 2a - 1$ to have real nonzero solutions

Solución:

Sustituir $x^2 = y + a$ en $x^2 + y^2 = a^2$ da $y^2 + y + (a - a^2) = 0,$ que se factoriza como $(y + 1 - a)(y + a) = 0,$ así que $y = a - 1$ o $y = -a.$ Estos corresponden a $x^2 = 2a - 1$ y $x^2 = 0.$

La ecuación $x^2 = 0$ siempre da el único punto $(0, -a),$ el vértice de la parábola. La ecuación $x^2 = 2a - 1$ da dos puntos más exactamente cuando $2a - 1 \gt 0,$ es decir $a \gt \tfrac12.$ Así que hay $3$ puntos de intersección precisamente cuando $a \gt \tfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting $x^2 = y + a$ into $x^2 + y^2 = a^2$ gives $y^2 + y + (a - a^2) = 0,$ which factors as $(y + 1 - a)(y + a) = 0,$ so $y = a - 1$ or $y = -a.$ These correspond to $x^2 = 2a - 1$ and $x^2 = 0.$

The equation $x^2 = 0$ always gives the single point $(0, -a),$ the vertex of the parabola. The equation $x^2 = 2a - 1$ gives two more points exactly when $2a - 1 \gt 0,$ i.e. $a \gt \tfrac12.$ So there are $3$ intersection points precisely when $a \gt \tfrac12.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Farmer Pythagoras tiene un campo en forma de triángulo rectángulo. Los catetos del triángulo rectángulo tienen longitudes de $3$ y $4$ unidades. En la esquina donde esos lados se encuentran en ángulo recto, deja un pequeño cuadrado sin cultivar $S$ de modo que desde el aire parece el símbolo de ángulo recto. El resto del campo está cultivado. La distancia más corta de $S$ a la hipotenusa es $2$ unidades. ¿Qué fracción del campo está cultivada?

Farmer Pythagoras has a field in the shape of a right triangle. The right triangle’s legs have lengths of $3$ and $4$ units. In the corner where those sides meet at a right angle, he leaves a small unplanted square $S$ so that from the air it looks like the right angle symbol. The rest of the field is planted. The shortest distance from $S$ to the hypotenuse is $2$ units. What fraction of the field is planted?

$\tfrac{25}{27}$

$\tfrac{26}{27}$

$\tfrac{73}{75}$

$\tfrac{145}{147}$

$\tfrac{74}{75}$

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia área

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Coloca el ángulo recto en el origen de modo que la hipotenusa sea la recta $3x + 4y = 12$

Put the right angle at the origin so the hypotenuse is the line $3x + 4y = 12$

Pista grande:

La esquina lejana $(s, s)$ del cuadrado está a distancia $2$ de esa recta; resuelve $\tfrac{|3s + 4s - 12|}{5} = 2$ y conserva la raíz válida

The far corner $(s, s)$ of the square is distance $2$ from that line; solve $\tfrac{|3s + 4s - 12|}{5} = 2$ and keep the valid root

Solución:

Coloca el ángulo recto en el origen con los catetos sobre los ejes, así que los vértices son $(4, 0),$ $(0, 3),$ $(0, 0),$ y el cuadrado $S$ es $[0, s] \times [0, s].$ La hipotenusa es $3x + 4y - 12 = 0,$ y la distancia desde su esquina más cercana $(s, s)$ es $\frac{|3s + 4s - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7s - 12|}{5} = 2.$ Esto da $s = \tfrac{22}{7}$ o $s = \tfrac27;$ solo $s = \tfrac27$ mantiene el cuadrado dentro del triángulo.

El campo tiene área $\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$ y el cuadrado sin cultivar tiene área $\left(\tfrac27\right)^2 = \tfrac{4}{49}.$ La fracción cultivada es $1 - \frac{\frac{4}{49}}{6} = 1 - \frac{2}{147} = \frac{145}{147}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the right angle at the origin with legs on the axes, so the vertices are $(4, 0),$ $(0, 3),$ $(0, 0),$ and the square $S$ is $[0, s] \times [0, s].$ The hypotenuse is $3x + 4y - 12 = 0,$ and the distance from its nearest corner $(s, s)$ is $\frac{|3s + 4s - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7s - 12|}{5} = 2.$ This gives $s = \tfrac{22}{7}$ or $s = \tfrac27;$ only $s = \tfrac27$ keeps the square inside the triangle.

The field has area $\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$ and the unplanted square has area $\left(\tfrac27\right)^2 = \tfrac{4}{49}.$ The planted fraction is $1 - \frac{\frac{4}{49}}{6} = 1 - \frac{2}{147} = \frac{145}{147}.$

Thus, the correct answer is D.

18.

El triángulo $ABC$ con $AB = 50$ y $AC = 10$ tiene área $120.$ Sea $D$ el punto medio de $\overline{AB},$ y sea $E$ el punto medio de $\overline{AC}.$ La bisectriz del $\angle BAC$ corta a $\overline{DE}$ y $\overline{BC}$ en $F$ y $G,$ respectivamente. ¿Cuál es el área del cuadrilátero $FDBG$ ?

Triangle $ABC$ with $AB = 50$ and $AC = 10$ has area $120.$ Let $D$ be the midpoint of $\overline{AB},$ and let $E$ be the midpoint of $\overline{AC}.$ The angle bisector of $\angle BAC$ intersects $\overline{DE}$ and $\overline{BC}$ at $F$ and $G,$ respectively. What is the area of quadrilateral $FDBG?$

$60$

$65$

$70$

$75$

$80$

Respuesta: D

Conceptos:teorema de la bisectriz razón de áreas punto medio

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Como $D, E$ son puntos medios, $[ADE] = \tfrac14 [ABC],$ así que el trapecio $EDBC$ es el $\tfrac34$ restante

Since $D, E$ are midpoints, $[ADE] = \tfrac14 [ABC],$ so trapezoid $EDBC$ is the remaining $\tfrac34$

Pista grande:

Por el Teorema de la Bisectriz, la bisectriz corta a $DE$ y $BC$ en razón $AB : AC = 5 : 1,$ haciendo que $FDBG$ sea igual a $\tfrac56$ de $EDBC$

By the Angle Bisector Theorem the bisector cuts $DE$ and $BC$ in ratio $AB : AC = 5 : 1,$ making $FDBG$ equal to $\tfrac56$ of $EDBC$

Solución:

Como $D$ y $E$ son puntos medios, $\triangle ADE$ tiene $\tfrac14$ del área de $\triangle ABC,$ a saber $30,$ así que el trapecio $EDBC$ tiene área $120 - 30 = 90.$

Por el Teorema de la Bisectriz, $G$ divide a $BC$ con $BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC,$ y de igual modo $F$ divide a $DE$ de modo que $DF = \tfrac56 DE.$ Como $FDBG$ y $EDBC$ comparten la misma altura, el área de $FDBG$ es $\tfrac56$ del área de $EDBC:$ $\tfrac56 \cdot 90 = 75.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $D$ and $E$ are midpoints, $\triangle ADE$ has $\tfrac14$ the area of $\triangle ABC,$ namely $30,$ so trapezoid $EDBC$ has area $120 - 30 = 90.$

By the Angle Bisector Theorem, $G$ divides $BC$ with $BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC,$ and likewise $F$ divides $DE$ so that $DF = \tfrac56 DE.$ Because $FDBG$ and $EDBC$ share the same height, the area of $FDBG$ is $\tfrac56$ of the area of $EDBC:$ $\tfrac56 \cdot 90 = 75.$

Thus, the correct answer is D.

19.

Sea $A$ el conjunto de enteros positivos que no tienen factores primos distintos de $2,$ $3,$ o $5.$ La suma infinita $\begin{aligned} &\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \\ &\quad {}+ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \\ &\quad {}+ \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} \\ &\quad {}+ \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \cdots \end{aligned}$ de los recíprocos de todos los elementos de $A$ se puede expresar como $\tfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Let $A$ be the set of positive integers that have no prime factors other than $2,$ $3,$ or $5.$ The infinite sum $\begin{aligned} &\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \\ &\quad {}+ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \\ &\quad {}+ \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} \\ &\quad {}+ \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \cdots \end{aligned}$ of the reciprocals of all the elements of $A$ can be expressed as $\tfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$16$

$17$

$19$

$23$

$36$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria factorización en primos

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Cada elemento es $2^i 3^j 5^k,$ así que la suma se factoriza como un producto de tres series geométricas separadas

Every element is $2^i 3^j 5^k,$ so the sum factors as a product of three separate geometric series

Pista grande:

Evalúa $\dfrac{1}{1 - \frac12} \cdot \dfrac{1}{1 - \frac13} \cdot \dfrac{1}{1 - \frac15}$ y reduce el resultado

Evaluate $\dfrac{1}{1 - \frac12} \cdot \dfrac{1}{1 - \frac13} \cdot \dfrac{1}{1 - \frac15}$ and reduce the result

Solución:

Cada elemento de $A$ es de forma única $2^i 3^j 5^k$ con $i, j, k \ge 0,$ así que sumar todos los recíprocos se factoriza como $\begin{aligned} &\left(\sum_{i \ge 0} \tfrac{1}{2^i}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{j \ge 0} \tfrac{1}{3^j}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k \ge 0} \tfrac{1}{5^k}\right) \\ &= \frac{1}{1 - \frac12} \cdot \frac{1}{1 - \frac13} \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{1 - \frac15}. \end{aligned}$ Esto es igual a $2 \cdot \tfrac32 \cdot \tfrac54 = \tfrac{15}{4}.$ Con $\gcd(15, 4) = 1,$ $m + n = 15 + 4 = 19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each element of $A$ is uniquely $2^i 3^j 5^k$ with $i, j, k \ge 0,$ so summing all reciprocals factors as $\begin{aligned} &\left(\sum_{i \ge 0} \tfrac{1}{2^i}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{j \ge 0} \tfrac{1}{3^j}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k \ge 0} \tfrac{1}{5^k}\right) \\ &= \frac{1}{1 - \frac12} \cdot \frac{1}{1 - \frac13} \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{1 - \frac15}. \end{aligned}$ This equals $2 \cdot \tfrac32 \cdot \tfrac54 = \tfrac{15}{4}.$ With $\gcd(15, 4) = 1,$ $m + n = 15 + 4 = 19.$

Thus, the correct answer is C.

20.

El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo isósceles con $AB = AC = 3.$ Sea $M$ el punto medio de la hipotenusa $\overline{BC}.$ Los puntos $I$ y $E$ están sobre los lados $\overline{AC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente, de modo que $AI \gt AE$ y $AIME$ es un cuadrilátero cíclico. Dado que el triángulo $EMI$ tiene área $2,$ la longitud $CI$ se puede escribir como $\tfrac{a - \sqrt{b}}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuál es el valor de $a + b + c$ ?

Triangle $ABC$ is an isosceles right triangle with $AB = AC = 3.$ Let $M$ be the midpoint of hypotenuse $\overline{BC}.$ Points $I$ and $E$ lie on sides $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively, so that $AI \gt AE$ and $AIME$ is a cyclic quadrilateral. Given that triangle $EMI$ has area $2,$ the length $CI$ can be written as $\tfrac{a - \sqrt{b}}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime. What is the value of $a + b + c?$

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrilátero cíclico ley de los cosenos área del triángulo

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Como $AIME$ es cíclico y $\angle A = 90^\circ,$ el ángulo opuesto $\angle IME = 90^\circ$ también

Because $AIME$ is cyclic and $\angle A = 90^\circ,$ the opposite angle $\angle IME = 90^\circ$ as well

Pista grande:

Con $x = CI,$ $y = BE,$ usa la Ley de Cosenos para $IM, ME$ (ángulos base $45^\circ$ ), el área $\tfrac12 IM \cdot ME = 2,$ y la relación $x + y = 3$

With $x = CI,$ $y = BE,$ use the Law of Cosines for $IM, ME$ (base angles $45^\circ$ ), the area $\tfrac12 IM \cdot ME = 2,$ and the relation $x + y = 3$

Solución:

Como $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo isósceles, $CM = BM = \tfrac32 \sqrt2$ y los ángulos base en $B, C$ son $45^\circ.$ Como $AIME$ es cíclico con ángulo recto en $A,$ el ángulo $\angle IME = 90^\circ.$ Sea $x = CI$ y $y = BE.$ Por la Ley de Cosenos en $\triangle MCI,$ $\begin{aligned} IM^2 &= x^2 + \tfrac92 \\ &\quad {}- 2 \cdot x \cdot \tfrac32\sqrt2 \cdot \cos 45^\circ \\ &= x^2 - 3x + \tfrac92, \end{aligned}$ y análogamente $ME^2 = y^2 - 3y + \tfrac92.$

El Teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos $EMI$ e $IAE$ da $IM^2 + ME^2$ $= (3-x)^2$ $+ (3-y)^2,$ que se simplifica a $x + y = 3.$ La condición de área $\tfrac12 IM \cdot ME = 2$ significa $IM^2 \cdot ME^2 = 16.$ Sustituir $y = 3 - x$ hace $ME^2 = x^2 - 3x + \tfrac92 = IM^2,$ así que $\left(x^2 - 3x + \tfrac92\right)^2 = 16,$ por lo tanto $x^2 - 3x + \tfrac92 = 4,$ es decir $x^2 - 3x + \tfrac12 = 0.$

Como $AI \gt AE$ obliga a $y \gt x,$ tomamos la raíz menor $x = \tfrac{3 - \sqrt{7}}{2}.$ Entonces $a + b + c = 3 + 7 + 2 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $\triangle ABC$ is an isosceles right triangle, $CM = BM = \tfrac32 \sqrt2$ and the base angles at $B, C$ are $45^\circ.$ As $AIME$ is cyclic with right angle at $A,$ angle $\angle IME = 90^\circ.$ Let $x = CI$ and $y = BE.$ By the Law of Cosines in $\triangle MCI,$ $\begin{aligned} IM^2 &= x^2 + \tfrac92 \\ &\quad {}- 2 \cdot x \cdot \tfrac32\sqrt2 \cdot \cos 45^\circ \\ &= x^2 - 3x + \tfrac92, \end{aligned}$ and similarly $ME^2 = y^2 - 3y + \tfrac92.$

The Pythagorean Theorem in right triangles $EMI$ and $IAE$ gives $IM^2 + ME^2$ $= (3-x)^2$ $+ (3-y)^2,$ which simplifies to $x + y = 3.$ The area condition $\tfrac12 IM \cdot ME = 2$ means $IM^2 \cdot ME^2 = 16.$ Substituting $y = 3 - x$ makes $ME^2 = x^2 - 3x + \tfrac92 = IM^2,$ so $\left(x^2 - 3x + \tfrac92\right)^2 = 16,$ hence $x^2 - 3x + \tfrac92 = 4,$ i.e. $x^2 - 3x + \tfrac12 = 0.$

Since $AI \gt AE$ forces $y \gt x,$ we take the smaller root $x = \tfrac{3 - \sqrt{7}}{2}.$ Then $a + b + c = 3 + 7 + 2 = 12.$

Thus, the correct answer is D.

21.

¿Cuál de los siguientes polinomios tiene la mayor raíz real?

Which of the following polynomials has the greatest real root?

$x^{19} + 2018x^{11} + 1$

$x^{17} + 2018x^{11} + 1$

$x^{19} + 2018x^{13} + 1$

$x^{17} + 2018x^{13} + 1$

$2019x + 2018$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Por la Regla de los Signos de Descartes cada polinomio tiene exactamente una raíz real, y está en $(-1, 0)$

By Descartes’ Rule of Signs each polynomial has exactly one real root, and it lies in $(-1, 0)$

Pista grande:

En $(-1, 0)$ un polinomio con valores mayores tiene una raíz menor; nota que allí $x^{19} \gt x^{17}$ y $x^{13} \gt x^{11}$

On $(-1, 0)$ a polynomial with larger values has a smaller root; note $x^{19} \gt x^{17}$ and $x^{13} \gt x^{11}$ there

Solución:

Cada polinomio de las opciones A-D no tiene raíz positiva y tiene exactamente una raíz negativa, que está en $(-1, 0)$ (es positivo en $0$ y negativo en $-1$ ) y es creciente allí. En el intervalo $(-1, 0),$ $x^{19} \gt x^{17}$ y $x^{13} \gt x^{11}.$ Por lo tanto, cada una de las opciones A, C y D toma un valor mayor que B en todo punto de este intervalo, así que cada una cruza $0$ a la izquierda de B. Por lo tanto, B tiene la mayor raíz entre las opciones A-D.

La opción lineal E tiene raíz $e=-\tfrac{2018}{2019}.$ Como $\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10},$ tenemos $e^{17}+2018e^{11}+1$ $\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1$ $\lt0.$ Como B es creciente y es negativo en $e,$ su raíz está a la derecha de la de E. Por lo tanto B tiene la mayor raíz real.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each polynomial in choices A–D has no positive root and exactly one negative root, which lies in $(-1, 0)$ (it is positive at $0$ and negative at $-1$ ) and is increasing there. On the interval $(-1, 0),$ $x^{19} \gt x^{17}$ and $x^{13} \gt x^{11}.$ Thus each of A, C, and D has a larger value than B at every point of this interval, so each crosses $0$ to the left of B. Therefore B has the greatest root among A–D.

The linear choice E has root $e=-\tfrac{2018}{2019}.$ Since $\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10},$ we have $e^{17}+2018e^{11}+1$ $\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1$ $\lt0.$ Because B is increasing and is negative at $e,$ its root lies to the right of E’s. Hence B has the greatest real root.

Thus, the correct answer is B.

22.

Las soluciones de las ecuaciones $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ y $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i,$ donde $i = \sqrt{-1},$ forman los vértices de un paralelogramo en el plano complejo. El área de este paralelogramo se puede escribir en la forma $p\sqrt{q} - r\sqrt{s},$ donde $p,$ $q,$ $r,$ y $s$ son enteros positivos y ni $q$ ni $s$ es divisible por el cuadrado de ningún número primo. ¿Cuánto vale $p + q + r + s$ ?

The solutions to the equations $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ and $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i,$ where $i = \sqrt{-1},$ form the vertices of a parallelogram in the complex plane. The area of this parallelogram can be written in the form $p\sqrt{q} - r\sqrt{s},$ where $p,$ $q,$ $r,$ and $s$ are positive integers and neither $q$ nor $s$ is divisible by the square of any prime number. What is $p + q + r + s?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Respuesta: A

Conceptos:número complejo fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Resuelve $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ escribiendo $z = a + bi$ e igualando las partes real e imaginaria; haz lo mismo para la otra ecuación

Solve $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ by writing $z = a + bi$ and matching real and imaginary parts; do the same for the other equation

Pista grande:

Los cuatro vértices son $\pm z_1$ y $\pm z_2;$ aplica la fórmula del cordón de zapato a sus coordenadas

The four vertices are $\pm z_1$ and $\pm z_2;$ apply the shoelace formula to their coordinates

Solución:

Escribiendo $z = a + bi$ con $(a + bi)^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ da $a^2 - b^2 = 4$ y $2ab = 4\sqrt{15}.$ Entonces $a^4 - 4a^2 - 60 = 0,$ así que $(a^2 - 10)(a^2 + 6) = 0,$ lo que produce $a = \pm\sqrt{10},$ $b = \pm\sqrt{6}.$ Los vértices de la primera ecuación son $\pm(\sqrt{10} + \sqrt{6}\,i).$ El mismo método en $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i$ da $\pm(\sqrt{3} + i).$

Aplicar la fórmula del cordón de zapato a $(\sqrt{10}, \sqrt{6}),$ $(\sqrt{3}, 1),$ $(-\sqrt{10}, -\sqrt{6}),$ $(-\sqrt{3}, -1)$ da área $6\sqrt{2} - 2\sqrt{10}.$ Por lo tanto $p + q + r + s$ $= 6 + 2 + 2 + 10$ $= 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Writing $z = a + bi$ with $(a + bi)^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ gives $a^2 - b^2 = 4$ and $2ab = 4\sqrt{15}.$ Then $a^4 - 4a^2 - 60 = 0,$ so $(a^2 - 10)(a^2 + 6) = 0,$ yielding $a = \pm\sqrt{10},$ $b = \pm\sqrt{6}.$ The vertices from the first equation are $\pm(\sqrt{10} + \sqrt{6}\,i).$ The same method on $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i$ gives $\pm(\sqrt{3} + i).$

Applying the shoelace formula to $(\sqrt{10}, \sqrt{6}),$ $(\sqrt{3}, 1),$ $(-\sqrt{10}, -\sqrt{6}),$ $(-\sqrt{3}, -1)$ gives area $6\sqrt{2} - 2\sqrt{10}.$ Thus $p + q + r + s$ $= 6 + 2 + 2 + 10$ $= 20.$

Thus, the correct answer is A.

23.

En $\triangle PAT,$ $\angle P = 36^\circ,$ $\angle A = 56^\circ,$ y $PA = 10.$ Los puntos $U$ y $G$ están sobre los lados $\overline{TP}$ y $\overline{TA},$ respectivamente, de modo que $PU = AG = 1.$ Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $\overline{PA}$ y $\overline{UG},$ respectivamente. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo agudo formado por las rectas $MN$ y $PA$ ?

In $\triangle PAT,$ $\angle P = 36^\circ,$ $\angle A = 56^\circ,$ and $PA = 10.$ Points $U$ and $G$ lie on sides $\overline{TP}$ and $\overline{TA},$ respectively, so that $PU = AG = 1.$ Let $M$ and $N$ be the midpoints of segments $\overline{PA}$ and $\overline{UG},$ respectively. What is the degree measure of the acute angle formed by lines $MN$ and $PA?$

$76$

$77$

$78$

$79$

$80$

Respuesta: E

Conceptos:persecución de ángulos punto medio paralelogramo

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Extiende $PN$ hasta $Q$ con $PN = NQ;$ entonces $UPGQ$ es un paralelogramo, así que $GQ \parallel PT$ y $GQ = PU = AG$

Extend $PN$ to $Q$ with $PN = NQ;$ then $UPGQ$ is a parallelogram, so $GQ \parallel PT$ and $GQ = PU = AG$

Pista grande:

El triángulo $QGA$ es isósceles, y $MN$ es una paralela media del triángulo $QPA,$ así que $\angle NMA = \angle QAP$

Triangle $QGA$ is isosceles, and $MN$ is a midline of triangle $QPA,$ so $\angle NMA = \angle QAP$

Solución:

Extiende $PN$ a través de $N$ hasta $Q$ con $PN = NQ.$ Como $N$ es el punto medio de $UG$ y de $PQ,$ el cuadrilátero $UPGQ$ es un paralelogramo, así que $GQ \parallel PT$ y $GQ = PU = 1 = AG.$ Entonces $\angle QGA$ $= 180^\circ - \angle T$ $= \angle P + \angle A$ $= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ,$ y el triángulo isósceles $QGA$ da $\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ.$

Como $M, N$ son puntos medios, $MN$ es una paralela media del $\triangle QPA,$ así que $MN \parallel AQ$ y $\begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ. \end{aligned}$ El ángulo agudo entre la recta $MN$ y $PA$ es por lo tanto $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Extend $PN$ through $N$ to $Q$ with $PN = NQ.$ Since $N$ is the midpoint of $UG$ and of $PQ,$ the quadrilateral $UPGQ$ is a parallelogram, so $GQ \parallel PT$ and $GQ = PU = 1 = AG.$ Then $\angle QGA$ $= 180^\circ - \angle T$ $= \angle P + \angle A$ $= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ,$ and the isosceles triangle $QGA$ gives $\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ.$

Because $M, N$ are midpoints, $MN$ is a midline of $\triangle QPA,$ so $MN \parallel AQ$ and $\begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ. \end{aligned}$ The acute angle between line $MN$ and $PA$ is therefore $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

24.

Alice, Bob y Carol juegan un juego en el que cada uno elige un número real entre $0$ y $1.$ El ganador del juego es aquel cuyo número está entre los números elegidos por los otros dos jugadores. Alice anuncia que elegirá su número uniformemente al azar entre todos los números entre $0$ y $1,$ y Bob anuncia que elegirá su número uniformemente al azar entre todos los números entre $\tfrac12$ y $\tfrac23.$ Con esta información, ¿qué número debería elegir Carol para maximizar su probabilidad de ganar?

Alice, Bob, and Carol play a game in which each of them chooses a real number between $0$ and $1.$ The winner of the game is the one whose number is between the numbers chosen by the other two players. Alice announces that she will choose her number uniformly at random from all the numbers between $0$ and $1,$ and Bob announces that he will choose his number uniformly at random from all the numbers between $\tfrac12$ and $\tfrac23.$ Armed with this information, what number should Carol choose to maximize her chance of winning?

$\tfrac12$

$\tfrac{13}{24}$

$\tfrac{7}{12}$

$\tfrac58$

$\tfrac23$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos optimización

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Divide en casos según dónde se sitúa el número $c$ de Carol respecto de $\tfrac12$ y $\tfrac23;$ para $\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23$ ella puede ganar de dos maneras

Split into cases by where Carol’s number $c$ sits relative to $\tfrac12$ and $\tfrac23;$ for $\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23$ she can win in two ways

Pista grande:

En ese rango intermedio su probabilidad de ganar es $-12c^2 + 13c - 3;$ maximiza esta cuadrática hacia abajo en su vértice $c = \tfrac{-b}{2a}$

In that middle range her win probability is $-12c^2 + 13c - 3;$ maximize this downward quadratic at its vertex $c = \tfrac{-b}{2a}$

Solución:

Si $c \le \tfrac12,$ Carol le gana a Bob automáticamente, así que gana solo si Alice está por debajo de $c,$ con probabilidad $c \le \tfrac12.$ Si $c \ge \tfrac23,$ gana con probabilidad $1 - c \le \tfrac13.$ Ninguno de los casos supera $\tfrac12.$

Para $\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23,$ la probabilidad de que el número de Bob supere a $c$ es $\frac{\frac{2}{3} - c}{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 4 - 6c,$ así que la probabilidad de que Carol esté por encima de Alice y por debajo de Bob es $c(4 - 6c);$ el orden inverso tiene probabilidad $(1 - c)(6c - 3).$ Sumando, $\begin{aligned} &c(4 - 6c) + (1 - c)(6c - 3) \\ &= -12c^2 + 13c - 3. \end{aligned}$ Esta parábola hacia abajo se maximiza en $c = \tfrac{13}{24},$ que está en $\left(\tfrac12, \tfrac23\right),$ y su valor supera $\tfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $c \le \tfrac12,$ Carol beats Bob automatically, so she wins only if Alice is below $c,$ probability $c \le \tfrac12.$ If $c \ge \tfrac23,$ she wins with probability $1 - c \le \tfrac13.$ Neither case exceeds $\tfrac12.$

For $\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23,$ the chance Bob’s number exceeds $c$ is $\frac{\frac{2}{3} - c}{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 4 - 6c,$ so the probability Carol is above Alice and below Bob is $c(4 - 6c);$ the reverse ordering has probability $(1 - c)(6c - 3).$ Adding, $\begin{aligned} &c(4 - 6c) + (1 - c)(6c - 3) \\ &= -12c^2 + 13c - 3. \end{aligned}$ This downward parabola is maximized at $c = \tfrac{13}{24},$ which lies in $\left(\tfrac12, \tfrac23\right),$ and its value exceeds $\tfrac12.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Para un entero positivo $n$ y dígitos no nulos $a,$ $b,$ y $c,$ sea $A_n$ el entero de $n$ dígitos cada uno de los cuales es igual a $a;$ sea $B_n$ el entero de $n$ dígitos cada uno de los cuales es igual a $b;$ y sea $C_n$ el entero de $2n$ dígitos (no de $n$ dígitos) cada uno de los cuales es igual a $c.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $a + b + c$ para el que hay al menos dos valores de $n$ tales que $C_n - B_n = A_n^2$ ?

For a positive integer $n$ and nonzero digits $a,$ $b,$ and $c,$ let $A_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $a;$ let $B_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $b;$ and let $C_n$ be the $2n$ -digit (not $n$ -digit) integer each of whose digits is equal to $c.$ What is the greatest possible value of $a + b + c$ for which there are at least two values of $n$ such that $C_n - B_n = A_n^2?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

Respuesta: D

Conceptos:dígitos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Escribe $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ e igualmente $B_n$ y $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},$ luego sustituye en $C_n - B_n = A_n^2$

Write $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ and likewise $B_n$ and $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},$ then substitute into $C_n - B_n = A_n^2$

Pista grande:

Exigirlo para dos valores de $n$ obliga a que el coeficiente de $10^n$ se anule: $9c = a^2$ y $9b - 9c = a^2$

Requiring it for two values of $n$ forces the coefficient of $10^n$ to vanish: $9c = a^2$ and $9b - 9c = a^2$

Solución:

Usando $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ $B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ y $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},$ la ecuación $C_n - B_n = A_n^2$ se convierte, tras dividir por $10^n - 1$ y eliminar fracciones, en $(9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2.$ Para que esto se cumpla en dos valores diferentes de $n,$ el coeficiente de $10^n$ debe ser cero, así que $9c = a^2$ y por lo tanto $9b - 9c - a^2 = 0.$

Entonces $c = \tfrac{a^2}{9}$ y $b = 2c.$ Así que $a \in \{3, 6, 9\}$ con $c \in \{1, 4, 9\}$ y $b \in \{2, 8, 18\};$ el caso $b = 18$ no es un dígito. Las ternas válidas son $(a, b, c) = (3, 2, 1)$ y $(6, 8, 4),$ y en efecto $4444 - 88 = 4356 = 66^2.$ La mayor suma de dígitos es $6 + 8 + 4 = 18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ $B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ and $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},$ the equation $C_n - B_n = A_n^2$ becomes, after dividing by $10^n - 1$ and clearing fractions, $(9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2.$ For this to hold at two different $n,$ the coefficient of $10^n$ must be zero, so $9c = a^2$ and hence $9b - 9c - a^2 = 0.$

Then $c = \tfrac{a^2}{9}$ and $b = 2c.$ So $a \in \{3, 6, 9\}$ with $c \in \{1, 4, 9\}$ and $b \in \{2, 8, 18\};$ the case $b = 18$ is not a digit. The valid triples are $(a, b, c) = (3, 2, 1)$ and $(6, 8, 4),$ and indeed $4444 - 88 = 4356 = 66^2.$ The greater digit sum is $6 + 8 + 4 = 18.$

Thus, the correct answer is D.

Problemas del 2018 AMC 12A

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande: