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2018 AMC 12A Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2018 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

¿Cuántos enteros no negativos se pueden escribir en la forma

a7⋅37+a6⋅36+a5⋅35+a4⋅34+a3⋅33+a2⋅32+a1⋅31+a0⋅30, \begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0, \end{aligned}

donde ai∈{−1,0,1}a_i \in \{-1, 0, 1\} para 0≤i≤70 \le i \le 7?

How many nonnegative integers can be written in the form

a7⋅37+a6⋅36+a5⋅35+a4⋅34+a3⋅33+a2⋅32+a1⋅31+a0⋅30, \begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0, \end{aligned}

where ai∈{−1,0,1}a_i \in \{-1, 0, 1\} for 0≤i≤7?0 \le i \le 7?

512512

729729

10941094

32813281

59,04859{,}048

Respuesta: D
Conceptos:base numéricabiyecciónsimetría
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:

Desplazar cada aia_i de {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} a {0,1,2}\{0, 1, 2\} produce un numeral ordinario en base 33

Shifting each aia_i from {−1,0,1}\{-1, 0, 1\} to {0,1,2}\{0, 1, 2\} makes an ordinary base-33 numeral

Pista grande:

Los 383^8 enteros representables son simétricos respecto de 0;0; cuenta 00 junto con la mitad de los valores restantes

The 383^8 representable integers are symmetric about 0;0; count 00 together with half of the remaining values

Solución:

Sumar 11 a cada aia_i da una biyección entre estas expresiones y los numerales en base 33 para 00 hasta 38−1,3^8 - 1, así que ocurren exactamente 38=65613^8 = 6561 enteros distintos. Son simétricos respecto de 00 (negar todos los aia_i niega el valor), así que además del propio 00, la mitad son positivos: 1+12(6561−1)=3281 1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281 enteros no negativos, a saber 00 hasta 3280.3280.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding 11 to every aia_i gives a bijection between these expressions and the base-33 numerals for 00 through 38−1,3^8 - 1, so exactly 38=65613^8 = 6561 distinct integers occur. They are symmetric about 00 (negating all aia_i negates the value), so besides 00 itself, half are positive: 1+12(6561−1)=3281 1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281 nonnegative integers, namely 00 through 3280.3280.

Thus, the correct answer is D.

Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

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