Question

Hay números reales $x, y, h$ y $k$ que satisfacen el sistema de ecuaciones

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = h$

$x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.$

¿Cuál es el valor mínimo posible de $h + k$ ?

There are real numbers $x, y, h,$ and $k$ that satisfy the system of equations

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = h$

$x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.$

What is the minimum possible value of $h + k?$

$-54$

$-46$

$-34$

$-16$

$16$

Solución:

Sumando las ecuaciones, $\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}$ Ambos términos al cuadrado son no negativos, así que el mínimo ocurre en $x = 4,$ $y = 1,$ dando $h + k = -34.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Adding the equations, $\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}$ Both squared terms are nonnegative, so the minimum occurs at $x = 4,$ $y = 1,$ giving $h + k = -34.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años