Question

Hay números reales $x,$ $y,$ $h,$ y $k$ que satisfacen el sistema de ecuaciones

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = h$

$x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.$

¿Cuál es el valor mínimo posible de $h + k$ ?

There are real numbers $x,$ $y,$ $h,$ and $k$ that satisfy the system of equations

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = h$

$x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.$

What is the minimum possible value of $h + k?$

$-54$

$-46$

$-34$

$-16$

$16$

Respuesta: C

Conceptos:completar el cuadrado optimización

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Suma las dos ecuaciones para obtener $h + k$ como una sola expresión en $x$ y $y$ .

Add the two equations to get $h + k$ as a single expression in $x$ and $y$

Pista grande:

Completa el cuadrado: $h + k = 2(x-4)^2$ $+ 2(y-1)^2 - 34,$ que es mínimo cuando ambos cuadrados se anulan.

Complete the square: $h + k = 2(x-4)^2$ $+ 2(y-1)^2 - 34,$ which is smallest when both squares vanish

Solución:

Sumando las ecuaciones, $\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}$ Ambos términos al cuadrado son no negativos, así que el mínimo ocurre en $x = 4,$ $y = 1,$ dando $h + k = -34.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Adding the equations, $\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}$ Both squared terms are nonnegative, so the minimum occurs at $x = 4,$ $y = 1,$ giving $h + k = -34.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B Problema 13

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años