Question

La gráfica de $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ tiene un eje de simetría. ¿Cuál es la reflexión del punto $\left(-1,\tfrac12\right)$ respecto a este eje?

The graph of $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ has an axis of symmetry. What is the reflection of the point $\left(-1,\tfrac12\right)$ over this axis?

$\left(-1,-\tfrac32\right)$

$(-1,0)$

$\left(-1,\tfrac12\right)$

$\left(0,\tfrac12\right)$

$\left(3,\tfrac12\right)$

Solución:

La curva $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por su mínimo. Igualar la derivada $e^{x+1}-e^{-x}=0$ da $x+1=-x,$ así que $x=-\tfrac12.$ Al reflejar $\left(-1,\tfrac12\right)$ respecto a $x=-\tfrac12$ se conserva la coordenada $y$ y $x=-1$ va a $x=0.$ La imagen es $\left(0,\tfrac12\right).$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The curve $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ is symmetric about the vertical line through its minimum. Setting the derivative $e^{x+1}-e^{-x}=0$ gives $x+1=-x,$ so $x=-\tfrac12.$ Reflecting $\left(-1,\tfrac12\right)$ across $x=-\tfrac12$ keeps the $y$ -coordinate and sends $x=-1$ to $x=0.$ The image is $\left(0,\tfrac12\right).$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años