Question

¿Para cuántos valores enteros de $k$ las gráficas de $x^2+y^2=k^2$ y $xy=k$ no se intersecan?

For how many integer values of $k$ do the graphs of $x^2+y^2=k^2$ and $xy=k$ not intersect?

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

Solución:

Para $k=0,$ la gráfica de $x^2+y^2=0$ es el único punto $(0,0)$ y $xy=0$ son los dos ejes, que se encuentran en el origen, así que las gráficas se intersecan.

Para $k\ne0,$ la circunferencia tiene radio $|k|,$ y la hipérbola $xy=k$ tiene sus dos vértices más cercanos al origen a distancia $\sqrt{2|k|}.$ Las gráficas se encuentran exactamente cuando $|k|\ge\sqrt{2|k|},$ es decir $|k|\ge2.$

Así que no se intersecan solo cuando $|k|=1,$ es decir $k=1$ y $k=-1,$ lo que da $2$ valores.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

For $k=0,$ the graph of $x^2+y^2=0$ is the single point $(0,0)$ and $xy=0$ is the two axes, which meet at the origin, so the graphs intersect.

For $k\ne0,$ the circle has radius $|k|,$ and the hyperbola $xy=k$ has its two vertices nearest the origin at distance $\sqrt{2|k|}.$ The graphs meet exactly when $|k|\ge\sqrt{2|k|},$ that is $|k|\ge2.$

So they fail to intersect only when $|k|=1,$ namely $k=1$ and $k=-1,$ giving $2$ values.

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años