Question

¿Cuántos valores de $\theta$ en el intervalo $0\lt\theta\le 2\pi$ satisfacen $1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0?$

How many values of $\theta$ in the interval $0\lt\theta\le 2\pi$ satisfy $1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0?$

$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

Solución:

Sea $f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta.$ El término rápido $5\cos 3\theta$ completa tres oscilaciones mientras $1-3\sin\theta$ se mantiene entre $-2$ y $4.$

Evaluando $f$ en $0,30^\circ,60^\circ,\ldots,360^\circ,$ los valores son $+,-,-,-,+,-,-,$ $+,+,+,-,+,+,$ lo que muestra seis cambios de signo, y por tanto seis raíces.

Cada cambio de signo corresponde exactamente a una solución, así que hay $6$ valores de $\theta.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta.$ The fast term $5\cos 3\theta$ completes three oscillations while $1-3\sin\theta$ stays between $-2$ and $4.$

Sampling $f$ at $0,30^\circ,60^\circ,\ldots,360^\circ,$ the values are $+,-,-,-,+,-,-,$ $+,+,+,-,+,+,$ which shows six sign changes, hence six roots.

Each sign change corresponds to exactly one solution, so there are $6$ values of $\theta.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años